写像 $f: X \rightarrow Y$ と、部分集合 $A \subset X$, $C \subset Y$ が与えられたとき、以下の包含関係について、その逆の包含関係が一般的に正しいかどうかを議論する。 (1) $f^{-1}(f(A)) \supset A$ (2) $f(X \setminus A) \supset f(X) \setminus f(A)$

1. 問題の内容

写像 $f: X \rightarrow Y$ と、部分集合 $A \subset X$, $C \subset Y$ が与えられたとき、以下の包含関係について、その逆の包含関係が一般的に正しいかどうかを議論する。

(1) $f^{-1}(f(A)) \supset A$

(2) $f(X \setminus A) \supset f(X) \setminus f(A)$

2. 解き方の手順

(1) $f^{-1}(f(A)) \supset A$ について

$x \in A$ ならば $f(x) \in f(A)$ である。

したがって、$x \in f^{-1}(f(A))$ である。

これは、$A \subset f^{-1}(f(A))$ を示す。

したがって、与えられた包含関係は正しい。

逆の包含関係$f^{-1}(f(A))\subset A$ は必ずしも正しくない。

反例として、全射ではない関数を考える。

$f$が単射であれば、$f^{-1}(f(A))= A$が成り立つ。

(2) $f(X \setminus A) \supset f(X) \setminus f(A)$ について

$y \in f(X) \setminus f(A)$ とする。これは、$y \in f(X)$ かつ $y \notin f(A)$ を意味する。

$y \in f(X)$ より、ある $x \in X$ が存在して $f(x) = y$ である。

$y \notin f(A)$ より、$x \notin A$ である。

したがって、$x \in X \setminus A$ であり、$y = f(x) \in f(X \setminus A)$ である。

これは、$f(X) \setminus f(A) \subset f(X \setminus A)$ を示す。

したがって、与えられた包含関係は正しい。

逆の包含関係$f(X\setminus A) \subset f(X)\setminus f(A)$ は必ずしも正しくない。

例えば、$f$ が単射でない場合、$X \setminus A$ に含まれる要素が $A$ の要素と同じ値に写像される可能性がある。

もし$f$が単射なら、$f(X\setminus A) = f(X) \setminus f(A)$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $f^{-1}(f(A)) \supset A$ は正しい。逆の包含関係は一般には正しくない。

(2) $f(X \setminus A) \supset f(X) \setminus f(A)$ は正しい。逆の包含関係は一般には正しくない。