AとBの工場で製造された部品の長さについて、標準偏差がそれぞれ0.12cmと0.08cmである。Aから72個、Bから64個の標本を抽出し、平均長さをそれぞれ2.52cmと2.49cmとしたとき、2つのメーカーの部品の長さに差があるかどうかを、有意水準5%と1%で検定する問題です。

1. 問題の内容

AとBの工場で製造された部品の長さについて、標準偏差がそれぞれ0.12cmと0.08cmである。Aから72個、Bから64個の標本を抽出し、平均長さをそれぞれ2.52cmと2.49cmとしたとき、2つのメーカーの部品の長さに差があるかどうかを、有意水準5%と1%で検定する問題です。

2. 解き方の手順

まず、帰無仮説と対立仮説を設定します。

帰無仮説 $H_0$: $\mu_1 = \mu_2$ (AとBの部品の長さの母平均は等しい)

対立仮説 $H_1$: $\mu_1 \neq \mu_2$ (AとBの部品の長さの母平均は等しくない)

次に、検定統計量Zを計算します。

$Z = \frac{(\bar{x_1} - \bar{x_2})}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$

ここで、

$\bar{x_1} = 2.52$ cm (Aの標本平均)

$\bar{x_2} = 2.49$ cm (Bの標本平均)

$\sigma_1 = 0.12$ cm (Aの標準偏差)

$\sigma_2 = 0.08$ cm (Bの標準偏差)

$n_1 = 72$ (Aの標本数)

$n_2 = 64$ (Bの標本数)

これらの値を代入すると、

$Z = \frac{(2.52 - 2.49)}{\sqrt{\frac{0.12^2}{72} + \frac{0.08^2}{64}}} = \frac{0.03}{\sqrt{\frac{0.0144}{72} + \frac{0.0064}{64}}} = \frac{0.03}{\sqrt{0.0002 + 0.0001}} = \frac{0.03}{\sqrt{0.0003}} = \frac{0.03}{0.01732} \approx 1.73$

次に、有意水準5%と1%における棄却域の境界値を求めます。これは両側検定なので、

有意水準5%の場合、$z_{0.025} = 1.96$

有意水準1%の場合、$z_{0.005} = 2.58$

最後に、検定統計量Zと棄却域の境界値を比較し、帰無仮説を棄却するかどうかを判定します。

3. 最終的な答え

帰無仮説H0: $\mu_1 = \mu_2$

対立仮説H1: $\mu_1 \neq \mu_2$

検定統計量: Z = 1.73

棄却域の境界値：

(1) 有意水準5%の場合: z = 1.96

(2) 有意水準1%の場合: z = 2.58

判定：

(1) 有意水準5%の場合: |Z| = 1.73 < 1.96 なので、帰無仮説を棄却できない。差があると判断できない。

(2) 有意水準1%の場合: |Z| = 1.73 < 2.58 なので、帰無仮説を棄却できない。差があると判断できない。