2次関数 $y = -x^2 + 2x - 3$ のグラフの頂点を求め、グラフが選択肢のどれになるか答える問題です。グラフは $x$ 軸との共有点を持たないという条件があります。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 2x - 3$ のグラフの頂点を求め、グラフが選択肢のどれになるか答える問題です。グラフは $x$ 軸との共有点を持たないという条件があります。

2. 解き方の手順

まず、2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 2x - 3$

$y = -(x^2 - 2x) - 3$

$y = -(x^2 - 2x + 1 - 1) - 3$

$y = -((x - 1)^2 - 1) - 3$

$y = -(x - 1)^2 + 1 - 3$

$y = -(x - 1)^2 - 2$

したがって、頂点は $(1, -2)$ となります。

次に、グラフの形を考えます。2次関数の係数 $-1$ が負なので、グラフは上に凸の放物線になります。頂点が $(1, -2)$ であり、$x$ 軸との共有点を持たないことから、グラフは選択肢の④となります。

3. 最終的な答え

頂点は $(1, -2)$ で、グラフは④。