問題は3つあります。 (5) 右の図において、$\angle A$ のおおよその大きさを求める。 (6) 次の三角比の値を求める。 (1) $\cos A = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin A$ と $\tan A$ を求める。 (2) $\sin A = \frac{3}{5}$ のとき、$\cos A$ と $\tan A$ を求める。 (7) $\sin 78^\circ$ を $\cos$ で表す。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

(5) 右の図において、$\angle A$ のおおよその大きさを求める。

(6) 次の三角比の値を求める。

(1) $\cos A = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin A$ と $\tan A$ を求める。

(2) $\sin A = \frac{3}{5}$ のとき、$\cos A$ と $\tan A$ を求める。

(7) $\sin 78^\circ$ を $\cos$ で表す。

2. 解き方の手順

(5) 図から、$\sin A = \frac{30}{100} = \frac{3}{10} = 0.3$ である。三角比の表から、$A \approx 17.5^\circ$である。従って、$A \approx 18^\circ$ となる。

(6) (1) $\cos A = \frac{1}{3}$ のとき、

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ より、

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\sin A > 0$ より、$\sin A = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = 2\sqrt{2}$

(6) (2) $\sin A = \frac{3}{5}$ のとき、

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ より、

$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\cos A > 0$ より、$\cos A = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}$

(7) $78^\circ = 90^\circ - 12^\circ$ より、

$\sin 78^\circ = \sin (90^\circ - 12^\circ) = \cos 12^\circ$

3. 最終的な答え

(5) $18^\circ$

(6) (1) $\sin A = \frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\tan A = 2\sqrt{2}$

(2) $\cos A = \frac{4}{5}$, $\tan A = \frac{3}{4}$

(7) $\cos 12^\circ$