関数 $y = \cos{\frac{x}{2}}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \cos{\frac{x}{2}}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を利用します。

$y = \cos{u}$ とおくと、$u = \frac{x}{2}$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を用います。

まず、$\frac{dy}{du}$ を計算します。

$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du} (\cos{u}) = -\sin{u}$

次に、$\frac{du}{dx}$ を計算します。

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\sin{u} \cdot \frac{1}{2} = -\sin{\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \sin{\frac{x}{2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2} \sin{\frac{x}{2}}$