5人の生徒の小テスト前日の勉強時間 $x$ と、小テストの得点 $y$ のデータが与えられている。 (1) $x$ と $y$ の分散と標準偏差をそれぞれ求める。 (2) $x$ と $y$ の共分散を求める。 (3) $x$ と $y$ の相関係数を求める。

1. 問題の内容

5人の生徒の小テスト前日の勉強時間 $x$ と、小テストの得点 $y$ のデータが与えられている。

(1) $x$ と $y$ の分散と標準偏差をそれぞれ求める。

(2) $x$ と $y$ の共分散を求める。

(3) $x$ と $y$ の相関係数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$x$ の分散は、$(x \text{の偏差})^2$ の合計をデータ数で割ったものである。

$x$ の偏差の二乗の合計は $0 + 1 + 1 + 4 + 4 = 10$。

したがって、$x$ の分散は $10/5 = 2$。

$x$ の標準偏差は、分散の平方根なので、$\sqrt{2}$。

$y$ の分散は、$(y \text{の偏差})^2$ の合計をデータ数で割ったものである。

$y$ の偏差の二乗の合計は $1 + 0 + 4 + 1 + 4 = 10$。

したがって、$y$ の分散は $10/5 = 2$。

$y$ の標準偏差は、分散の平方根なので、$\sqrt{2}$。

(2)

共分散は、偏差の積の合計をデータ数で割ったものである。

偏差の積の合計は $0 + 0 + 2 + 2 + 4 = 8$。

したがって、共分散は $8/5 = 1.6$。

(3)

相関係数 $r$ は、共分散を $x$ の標準偏差と $y$ の標準偏差の積で割ったものである。

$r = \frac{\text{共分散}}{x \text{の標準偏差} \times y \text{の標準偏差}} = \frac{1.6}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{1.6}{2} = 0.8$。

3. 最終的な答え

(1)

$x$ の分散: 2

$x$ の標準偏差: $\sqrt{2}$

$y$ の分散: 2

$y$ の標準偏差: $\sqrt{2}$

(2)

共分散: 1.6

(3)

相関係数: 0.8