与えられた関数 $y = \frac{(2x+3)^2}{(x-1)^3}$ の微分を計算すること。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{(2x+3)^2}{(x-1)^3}$ の微分を計算すること。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使用します。商の微分公式は次のとおりです。

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ここで、$u = (2x+3)^2$ であり、$v = (x-1)^3$ です。

まず、$u$ の微分を計算します。

$u = (2x+3)^2$ であるので、連鎖律を用いて微分します。

$u' = 2(2x+3) \cdot 2 = 4(2x+3) = 8x + 12$

次に、$v$ の微分を計算します。

$v = (x-1)^3$ であるので、連鎖律を用いて微分します。

$v' = 3(x-1)^2 \cdot 1 = 3(x-1)^2$

これで、$u, u', v, v'$ がわかったので、商の微分公式に代入します。

$y' = \frac{(8x+12)(x-1)^3 - (2x+3)^2(3(x-1)^2)}{(x-1)^6}$

$(x-1)^2$で分子と分母を割ります。

$y' = \frac{(8x+12)(x-1) - (2x+3)^2(3)}{(x-1)^4}$

分子を展開します。

$y' = \frac{(8x^2 - 8x + 12x - 12) - 3(4x^2 + 12x + 9)}{(x-1)^4}$

$y' = \frac{(8x^2 + 4x - 12) - (12x^2 + 36x + 27)}{(x-1)^4}$

$y' = \frac{8x^2 + 4x - 12 - 12x^2 - 36x - 27}{(x-1)^4}$

$y' = \frac{-4x^2 - 32x - 39}{(x-1)^4}$

$y' = \frac{-(4x^2 + 32x + 39)}{(x-1)^4}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{-(4x^2 + 32x + 39)}{(x-1)^4}$