次の関数の指定された区間における最大値と最小値を求めます。 (1) $y = x^4 - \frac{4}{3}x^3$ , $0 \le x \le 2$ (2) $y = e^x(x-1)$, $-1 \le x \le 2$

1. 問題の内容

次の関数の指定された区間における最大値と最小値を求めます。

(1) $y = x^4 - \frac{4}{3}x^3$ , $0 \le x \le 2$

(2) $y = e^x(x-1)$, $-1 \le x \le 2$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^4 - \frac{4}{3}x^3$, $0 \le x \le 2$

まず、導関数を求めます。

$\frac{dy}{dx} = 4x^3 - 4x^2 = 4x^2(x-1)$

$\frac{dy}{dx} = 0$ となる $x$ を求めます。

$4x^2(x-1) = 0$ より、$x=0, 1$。

次に、区間の端点 $x=0, 2$ と、導関数が 0 になる点 $x=0, 1$ における $y$ の値を計算します。

$x=0$ のとき、$y = 0^4 - \frac{4}{3}(0)^3 = 0$

$x=1$ のとき、$y = 1^4 - \frac{4}{3}(1)^3 = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$

$x=2$ のとき、$y = 2^4 - \frac{4}{3}(2)^3 = 16 - \frac{4}{3}(8) = 16 - \frac{32}{3} = \frac{48-32}{3} = \frac{16}{3}$

したがって、最大値は $\frac{16}{3}$、最小値は $-\frac{1}{3}$です。

(2) $y = e^x(x-1)$, $-1 \le x \le 2$

まず、導関数を求めます。

$\frac{dy}{dx} = e^x(x-1) + e^x = e^x(x-1+1) = xe^x$

$\frac{dy}{dx} = 0$ となる $x$ を求めます。

$xe^x = 0$ より、$x=0$。 ($e^x > 0$ より)

次に、区間の端点 $x=-1, 2$ と、導関数が 0 になる点 $x=0$ における $y$ の値を計算します。

$x=-1$ のとき、$y = e^{-1}(-1-1) = -2e^{-1} = -\frac{2}{e}$

$x=0$ のとき、$y = e^0(0-1) = 1(-1) = -1$

$x=2$ のとき、$y = e^2(2-1) = e^2$

$e \approx 2.718$ なので、$-\frac{2}{e} \approx -\frac{2}{2.718} \approx -0.736$

$e^2 \approx (2.718)^2 \approx 7.389$

したがって、最大値は $e^2$、最小値は $-1$です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $\frac{16}{3}$, 最小値: $-\frac{1}{3}$

(2) 最大値: $e^2$, 最小値: $-1$