定積分 $\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

この積分を解くために、三角関数による置換積分を行います。

$x = \sin\theta$ と置くと、$dx = \cos\theta d\theta$ となります。

また、積分区間も変更する必要があります。

$x=0$ のとき、$\sin\theta = 0$ なので、$\theta = 0$ です。

$x=1$ のとき、$\sin\theta = 1$ なので、$\theta = \frac{\pi}{2}$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin^2\theta} \cos\theta d\theta$

$\sqrt{1-\sin^2\theta} = \sqrt{\cos^2\theta} = \cos\theta$ であるから、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta d\theta$

$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ を用いると、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos(2\theta)) d\theta$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos(2\theta)) d\theta = [\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(\pi)) - (0 + \frac{1}{2}\sin(0)) = \frac{\pi}{2} + 0 - 0 - 0 = \frac{\pi}{2}$

したがって、

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos(2\theta)) d\theta = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$