関数 $f(x) = x^3 + px^2 + qx$ で表される曲線 $y = f(x)$ が点 $(2, 0)$ で $x$ 軸に接する。 (1) $p$ と $q$ の値を求める。 (2) 関数 $f(x)$ の極大値を求める。 (3) 点 $(2, 0)$ を通り、曲線 $C$ に接する直線のうち、傾きが負であるものを $l$ とするとき、曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれる部分の面積を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + px^2 + qx$ で表される曲線 $y = f(x)$ が点 $(2, 0)$ で $x$ 軸に接する。

(1) $p$ と $q$ の値を求める。

(2) 関数 $f(x)$ の極大値を求める。

(3) 点 $(2, 0)$ を通り、曲線 $C$ に接する直線のうち、傾きが負であるものを $l$ とするとき、曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれる部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $y=f(x)$ が点 $(2,0)$ で $x$ 軸に接することから、$f(2)=0$ かつ $f'(2)=0$ が成り立つ。

まず、$f(2) = 2^3 + p(2^2) + q(2) = 8 + 4p + 2q = 0$ より、

$4p + 2q = -8$

$2p + q = -4$ ...(1)

次に、$f'(x) = 3x^2 + 2px + q$ であるから、$f'(2) = 3(2^2) + 2p(2) + q = 12 + 4p + q = 0$ より、

$4p + q = -12$ ...(2)

(2) - (1) より、

$2p = -8$

$p = -4$

(1)に代入して、$2(-4) + q = -4$ より、$q = 4$

したがって、$f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x$

(2) $f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x = x(x-2)^2$

$f'(x) = 3x^2 - 8x + 4 = (3x - 2)(x - 2)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = \frac{2}{3}, 2$

$x < \frac{2}{3}$ で $f'(x) > 0$、$\frac{2}{3} < x < 2$ で $f'(x) < 0$、 $x > 2$ で $f'(x) > 0$

よって、$x = \frac{2}{3}$ で極大値をとる。

$f(\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})^3 - 4(\frac{2}{3})^2 + 4(\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{16}{9} + \frac{8}{3} = \frac{8 - 48 + 72}{27} = \frac{32}{27}$

(3) 点 $(2, 0)$ を通る接線の傾きを $m$ とすると、$y = m(x - 2)$

$x^3 - 4x^2 + 4x = m(x - 2)$

$x(x-2)^2 - m(x-2) = 0$

$(x-2)(x^2 - 2x - m) = 0$

$x = 2$ は接点。$x^2 - 2x - m = 0$ が $x = 2$ 以外の解をもつとき接線となる。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4m}}{2} = 1 \pm \sqrt{1 + m}$

$x \neq 2$ となるためには、$1 + \sqrt{1 + m} \neq 2$ かつ $1 - \sqrt{1 + m} \neq 2$ である必要がある。

$\sqrt{1 + m} \neq 1$ かつ $\sqrt{1 + m} \neq -1$. 後者は常に成り立つ。

$1 + m \neq 1$ より、$m \neq 0$

傾きが負であるものは $m < 0$ であるから、$m = -1$

$x = 1 \pm \sqrt{1 - 1} = 1$

接線 $l$ は $y = -x + 2$

交点の $x$ 座標は、$x^3 - 4x^2 + 4x = -x + 2$ より、$x^3 - 4x^2 + 5x - 2 = 0$

$(x-1)(x-1)(x-2) = 0$

$(x-1)^2(x-2) = 0$

交点は $x = 1, 2$

$S = \int_1^2 (-x + 2 - (x^3 - 4x^2 + 4x)) dx = \int_1^2 (-x^3 + 4x^2 - 5x + 2) dx$

$= [-\frac{1}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 2x]_1^2 = (-\frac{16}{4} + \frac{32}{3} - \frac{20}{2} + 4) - (-\frac{1}{4} + \frac{4}{3} - \frac{5}{2} + 2) = (-4 + \frac{32}{3} - 10 + 4) - (-\frac{3}{12} + \frac{16}{12} - \frac{30}{12} + \frac{24}{12}) = (\frac{32}{3} - 10) - (\frac{7}{12}) = (\frac{32 - 30}{3}) - \frac{7}{12} = \frac{2}{3} - \frac{7}{12} = \frac{8 - 7}{12} = \frac{1}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $p = -4$, $q = 4$

(2) $\frac{32}{27}$

(3) $\frac{1}{12}$