定積分 $\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx$ を計算する問題です。$x = \sin \theta$ と置換積分を行い、二倍角の公式 $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ を利用して解きます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx$ を計算する問題です。$x = \sin \theta$ と置換積分を行い、二倍角の公式 $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ を利用して解きます。

2. 解き方の手順

まず、$x = \sin \theta$ と置換します。このとき、$dx = \cos \theta \, d\theta$ となります。

積分の範囲も変換します。

$x=0$ のとき、$\sin \theta = 0$ より $\theta = 0$ です。

$x=1$ のとき、$\sin \theta = 1$ より $\theta = \frac{\pi}{2}$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin^2 \theta} \cos \theta \, d\theta$

$\sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{\cos^2 \theta} = \cos \theta$ より、

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \, d\theta$

ここで、二倍角の公式 $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ を利用します。

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2\theta) \, d\theta$

$\frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2\theta) \, d\theta = \frac{1}{2} \left[ \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta \right]_0^{\frac{\pi}{2}}$

$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin \pi \right) - \left( 0 + \frac{1}{2} \sin 0 \right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{2} + 0 - 0 - 0 \right] = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$