ECONOMICSという9文字の並べ替えについて、以下の3つの場合に順列の数を求める。 (1) 両端がCで、同じ文字が隣り合わない順列の数 (2) 両端が母音である順列の数 (3) 両端が母音でない順列の数

1. 問題の内容

ECONOMICSという9文字の並べ替えについて、以下の3つの場合に順列の数を求める。

(1) 両端がCで、同じ文字が隣り合わない順列の数

(2) 両端が母音である順列の数

(3) 両端が母音でない順列の数

2. 解き方の手順

(1) 両端がCで、同じ文字が隣り合わない順列の数

まず、ECONOMICSの文字の内訳を確認する。E, C, O, N, O, M, I, C, S。Cが2つ、Oが2つ。

両端がCであるので、残りの7文字はE, O, N, O, M, I, S。

まず、同じ文字の制約を考えずに並べる。$7!$

次に、Oが隣り合う場合を考える。

Oをまとめて1つと考えると、E, N, OO, M, I, Sの6文字の並び替えなので、$6!$

したがって、両端がCで、Oが隣り合う場合は、$6!$

よって、求める順列の数は、$7! - 6! = 7 \times 6! - 6! = 6! \times (7-1) = 6! \times 6 = 720 \times 6 = 4320$

(2) 両端が母音である順列の数

ECONOMICSの母音はE, O, O, Iの4つ。

両端に母音を並べる方法は、

(a) EとO (または OとE)：2通り

(b) EとI (または IとE)：2通り

(c) OとO：1通り

(d) OとI (または IとO)：2通り

従って、両端に母音を並べる方法は$2 + 2 + 1 + 2 = 7$通りではない。

計算ミスを修正：

両端が母音であるパターンは

EE, EO, EI, OE, OO, OI, IE, IO, IIの組み合わせ。

Eは１つ、Iは１つ、Oは２つ。

(a) EE：0通り

(b) EI, IE：$2 \times 1 \times 1 = 2$

(c) EO, OE：$2 \times 1 \times 2 = 4$

(d) OO：$1 \times 2 \times 1 = 2$ -> 1通り

(e) OI, IO：$2 \times 2 \times 1 = 4$

合計： $2+4+1+4 = 11$通りではない。

(a) EとO (または OとE)：$1 \times 2 \times 2 = 4$通り

(b) EとI (または IとE)：$1 \times 1 \times 2 = 2$通り

(c) OとO：$2 \times 1 \times 1 = 1$通り（Oが２つあるので、順番は区別できない）

(d) OとI (または IとO)：$2 \times 1 \times 2 = 4$通り

従って、両端に母音を並べる方法は $4 + 2 + 1 + 4 = 11$通りではない。

両端の母音の選び方は、

EとO -> 2

EとI -> 2

OとO -> 1

OとI -> 4

合計9個

母音を固定した場合、残りの７文字の並べ方は、Oが2つ、Cが2つ含まれている可能性がある。

場合分けが必要。

両端がEとIの場合、残りの文字はC, C, O, O, N, M, S。並べ方は$7! / (2!2!) = 1260$

両端がEとOの場合、残りの文字はC, C, O, N, M, I, S。並べ方は$7! / 2! = 2520$

両端がOとOの場合、残りの文字はE, C, C, N, M, I, S。並べ方は$7! / 2! = 2520$

両端がOとIの場合、残りの文字はE, C, C, O, N, M, S。並べ方は$7! / 2! = 2520$

よって、合計は$1260 \times 2 + 2520 \times 2 + 2520 = 2520+5040+2520=10080$

(3) 両端が母音でない順列の数

ECONOMICSの母音でない文字はC, N, M, C, Sの5つ。

両端が母音でない組み合わせ

CC -> 1

CN -> 4 (CN, NC)

CM -> 4 (CM, MC)

CS -> 4 (CS, SC)

NM -> 1

NS -> 1

MS -> 1

-> 5+4+1=10+1

両端に母音でない文字を並べる組み合わせ

CC : 1

CN : 2

CM : 2

CS : 2

NM : 1

NS : 1

MS : 1

合計10

(1) 4320通り

(2) 10080通り

3. 最終的な答え

(1) 4320通り

(2) 10080通り

(3) 両端がともに母音でない場合は、全順列から(2)を引けばよい。

全順列は$9! / (2! 2!) = 90720$

よって、$90720 - 10080 = 80640$ 通り。

(1) 4320通り

(2) 10080通り

(3) 80640通り

修正します。

(3) ECONOMICSの母音でない文字は C, N, M, C, S の5つ。

両端が母音でないのは、次のパターン。

両端がCC：1通り。残りの7文字はE, O, O, N, M, I, S。順列は$7!/2! = 2520$

両端がCN：2通り。残りの7文字はE, O, O, C, M, I, S。順列は$7!/2! = 2520$

両端がCM：2通り。残りの7文字はE, O, O, C, N, I, S。順列は$7!/2! = 2520$

両端がCS：2通り。残りの7文字はE, O, O, C, N, M, I。順列は$7!/2! = 2520$

両端がNM：1通り。残りの7文字はE, O, O, C, C, I, S。順列は$7!/(2!2!) = 1260$

両端がNS：2通り。残りの7文字はE, O, O, C, C, M, I。順列は$7!/(2!2!) = 1260$

両端がMS：2通り。残りの7文字はE, O, O, C, C, N, I。順列は$7!/(2!2!) = 1260$

従って、

$2520 + 4\times2520+3\times1260 = 2520(1+4)+3780 = 12600 + 3780 = 16380$

最終的な答え

(1) 4320通り

(2) 10080通り

(3) 16380通り