与えられた数列の和 $S$ を求めます。 $S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \cdots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}$

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求めます。

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \cdots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}$

2. 解き方の手順

数列の和 $S$ を求めるために、等比数列の和の公式を利用します。$S$に3を掛けて、$3S$を計算し、$S$から$3S$を引きます。

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \cdots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}$

$3S = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3^3 + \cdots + (2n-1) \cdot 3^n$

$S - 3S = 1 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + \cdots + 2 \cdot 3^{n-1} - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 2 (3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1}) - (2n-1) \cdot 3^n$

$3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1}$ は、初項3、公比3、項数 $n-1$ の等比数列なので、その和は

$\frac{3(3^{n-1} - 1)}{3-1} = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{2} = \frac{3^n - 3}{2}$

したがって、

$-2S = 1 + 2 \cdot \frac{3^n - 3}{2} - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 3^n - 3 - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 3^n - 2 - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 3^n - 2 - 2n \cdot 3^n + 3^n$

$-2S = 2 \cdot 3^n - 2 - 2n \cdot 3^n$

$-2S = (2-2n) \cdot 3^n - 2$

$S = (n-1) \cdot 3^n + 1$

3. 最終的な答え

$S = (n-1)3^n + 1$