問題は、数列の和 $S = 1 + 2r + 3r^2 + \dots + nr^{n-1}$ について、$r \neq 1$ のときの $S$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、数列の和 $S = 1 + 2r + 3r^2 + \dots + nr^{n-1}$ について、$r \neq 1$ のときの $S$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$S = 1 + 2r + 3r^2 + \dots + nr^{n-1}$ とおきます。

次に、$rS$ を計算します。

$rS = r + 2r^2 + 3r^3 + \dots + (n-1)r^{n-1} + nr^n$

次に、$S - rS$ を計算します。

$S - rS = (1 + 2r + 3r^2 + \dots + nr^{n-1}) - (r + 2r^2 + 3r^3 + \dots + (n-1)r^{n-1} + nr^n)$

$S - rS = 1 + (2r - r) + (3r^2 - 2r^2) + \dots + (nr^{n-1} - (n-1)r^{n-1}) - nr^n$

$S - rS = 1 + r + r^2 + \dots + r^{n-1} - nr^n$

左辺を整理すると、

$(1 - r)S = 1 + r + r^2 + \dots + r^{n-1} - nr^n$

右辺の $1 + r + r^2 + \dots + r^{n-1}$ は初項 1、公比 $r$、項数 $n$ の等比数列の和なので、$\frac{1 - r^n}{1 - r}$ となります。

したがって、

$(1 - r)S = \frac{1 - r^n}{1 - r} - nr^n$

両辺を $(1 - r)$ で割ると、

$S = \frac{1 - r^n}{(1 - r)^2} - \frac{nr^n}{1 - r}$

$S = \frac{1 - r^n - nr^n(1 - r)}{(1 - r)^2}$

$S = \frac{1 - r^n - nr^n + nr^{n+1}}{(1 - r)^2}$

$S = \frac{1 - (n+1)r^n + nr^{n+1}}{(1 - r)^2}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{1 - (n+1)r^n + nr^{n+1}}{(1 - r)^2}$