2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 2a + 2$ が与えられています。 (1) $a = -1$ のとき、$f(x)$ の最小値とそのときの $x$ の値を求めます。 (2) $y = f(x)$ のグラフの頂点の $y$ 座標が負となるような $a$ の値の範囲を求め、そのときの $-1 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値を $a$ を用いて表します。 (3) (2) のとき、$-1 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値を $M$ 、最小値を $m$ とするとき、$M + m = 3a$ となるような $a$ の値を求めます。

はい、この問題を解きましょう。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 2a + 2$ が与えられています。

(1) $a = -1$ のとき、$f(x)$ の最小値とそのときの $x$ の値を求めます。

(2) $y = f(x)$ のグラフの頂点の $y$ 座標が負となるような $a$ の値の範囲を求め、そのときの $-1 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値を $a$ を用いて表します。

(3) (2) のとき、$-1 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値を $M$ 、最小値を $m$ とするとき、$M + m = 3a$ となるような $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a = -1$ のとき、$f(x)$ は

$f(x) = x^2 - 2(-1)x + (-1)^2 - 2(-1) + 2 = x^2 + 2x + 1 + 2 + 2 = x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4$

したがって、最小値は $x = -1$ のとき $4$ です。

(2) $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 2a + 2 = (x-a)^2 - 2a + 2$

頂点の $y$ 座標は $-2a + 2$ です。これが負となる条件は

$-2a + 2 < 0$

$2a > 2$

$a > 1$

このとき、軸 $x = a$ と定義域 $-1 \le x \le 3$ の位置関係で場合分けします。

(i) $a < -1$ のとき：最大値は $f(3) = 9 - 6a + a^2 - 2a + 2 = a^2 - 8a + 11$

(ii) $-1 \le a \le 3$ のとき：最大値は $f(-1)$ または $f(3)$ で決まる。

(iii) $a > 3$ のとき：最大値は $f(-1) = 1 + 2a + a^2 - 2a + 2 = a^2 + 3$

$a > 1$ なので (i) は起こりえない。

-1 <= a <= 3 のとき

最大値は $f(-1)$ と $f(3)$ を比較して大きい方になる。

$f(3) - f(-1) = (a^2 - 8a + 11) - (a^2 + 3) = -8a + 8$

$a = 1$ のとき、$f(3) = f(-1) = 6$

$1 < a \le 3$ のとき、$f(3) < f(-1)$ であり、$f(-1)$ が最大値となる。つまり $a^2+3$

$a>3$ のとき、$f(-1)$ が最大値となる。つまり $a^2+3$

$a > 1$ のとき最大値は$a^2+3$

(3) $1 < a$ のとき、最小値は $m = -2a + 2$ です。最大値は $M = a^2 + 3$ でした。

$M + m = a^2 + 3 - 2a + 2 = a^2 - 2a + 5$

$M + m = 3a$ なので

$a^2 - 2a + 5 = 3a$

$a^2 - 5a + 5 = 0$

$a = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 20}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$

$a > 1$ より、$a = \frac{5 + \sqrt{5}}{2} > 1$ および $a = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} > 1$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: 4, x = -1

(2) a > 1, 最大値: $a^2 + 3$

(3) $a = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$