$x$ についての2つの2次方程式 $2x^2 - (3m-1)x + m^2 - m = 0$ $x^2 - (2m-5)x + m^2 - 5m + 6 = 0$ がただ1つの共通解を持つとき、$m$ の値とそのときの共通解を求める問題です。

1. 問題の内容

$x$ についての2つの2次方程式

$2x^2 - (3m-1)x + m^2 - m = 0$

$x^2 - (2m-5)x + m^2 - 5m + 6 = 0$

がただ1つの共通解を持つとき、$m$ の値とそのときの共通解を求める問題です。

2. 解き方の手順

共通解を $\alpha$ とすると、

$2\alpha^2 - (3m-1)\alpha + m^2 - m = 0$ ...(1)

$\alpha^2 - (2m-5)\alpha + m^2 - 5m + 6 = 0$ ...(2)

(1) - 2 * (2) より、

$[-(3m-1) + 2(2m-5)]\alpha + (m^2-m) - 2(m^2 - 5m + 6) = 0$

$(-3m+1+4m-10)\alpha + (m^2 - m - 2m^2 + 10m - 12) = 0$

$(m-9)\alpha + (-m^2 + 9m - 12) = 0$

$(m-9)\alpha = m^2 - 9m + 12$ ...(3)

(i) $m = 9$ のとき、

(3)より、$0 = 81 - 81 + 12 = 12$ となり不適。

(ii) $m \ne 9$ のとき、

$\alpha = \frac{m^2 - 9m + 12}{m-9}$ ...(4)

(4)を(2)に代入すると、

$(\frac{m^2-9m+12}{m-9})^2 - (2m-5)(\frac{m^2-9m+12}{m-9}) + m^2 - 5m + 6 = 0$

$(\frac{(m^2-9m+12)^2}{ (m-9)^2 } ) - (2m-5)(\frac{(m^2-9m+12)}{(m-9)} ) + m^2 - 5m + 6 = 0$

両辺に$(m-9)^2$ をかけると、

$(m^2-9m+12)^2 - (2m-5)(m-9)(m^2-9m+12) + (m^2-5m+6)(m-9)^2 = 0$

$(m^2-9m+12)^2 - (2m^2-23m+45)(m^2-9m+12) + (m^2-5m+6)(m^2-18m+81) = 0$

$(m^4+81m^2+144-18m^3+24m^2-216m)-(2m^4-18m^3+24m^2-23m^3+207m^2-276m+45m^2-405m+540)+(m^4-18m^3+81m^2-5m^3+90m^2-405m+6m^2-108m+486) = 0$

$(m^4-18m^3+105m^2-216m+144) - (2m^4-41m^3+276m^2-681m+540) + (m^4-23m^3+177m^2-513m+486) = 0$

$0m^4 + 0m^3 + 6m^2 - 48m + 90 = 0$

$6m^2 - 48m + 90 = 0$

$m^2 - 8m + 15 = 0$

$(m-3)(m-5) = 0$

$m = 3, 5$

(a) $m = 3$ のとき、

(4)より、$\alpha = \frac{3^2 - 9(3) + 12}{3-9} = \frac{9 - 27 + 12}{-6} = \frac{-6}{-6} = 1$

(1)に代入すると、$2(1)^2 - (3(3)-1)(1) + 3^2 - 3 = 2 - 8 + 9 - 3 = 0$

(2)に代入すると、$1^2 - (2(3)-5)(1) + 3^2 - 5(3) + 6 = 1 - 1 + 9 - 15 + 6 = 1 - 1 + 0 = 0$

よって、$m=3$ のとき、共通解 $\alpha = 1$ は条件を満たす。

(b) $m = 5$ のとき、

(4)より、$\alpha = \frac{5^2 - 9(5) + 12}{5-9} = \frac{25 - 45 + 12}{-4} = \frac{-8}{-4} = 2$

(1)に代入すると、$2(2)^2 - (3(5)-1)(2) + 5^2 - 5 = 8 - 28 + 25 - 5 = 0$

(2)に代入すると、$2^2 - (2(5)-5)(2) + 5^2 - 5(5) + 6 = 4 - 10 + 25 - 25 + 6 = 0$

よって、$m=5$ のとき、共通解 $\alpha = 2$ は条件を満たす。

3. 最終的な答え

$m=3$ のとき、共通解は $x=1$

$m=5$ のとき、共通解は $x=2$