$a$を正の定数とする。関数 $f(x) = |x - a| + 2|x + 2a|$ を考える。$f(x)$ を場合分けして表し、$f(x) = 6a + 3$ を満たす $x$ の個数を求め、さらに、その解の平方の和が4となる $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a$を正の定数とする。関数 $f(x) = |x - a| + 2|x + 2a|$ を考える。$f(x)$ を場合分けして表し、$f(x) = 6a + 3$ を満たす $x$ の個数を求め、さらに、その解の平方の和が4となる $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を場合分けして表す。

(i) $x < -2a$ のとき、

$x - a < 0$ かつ $x + 2a < 0$ なので、

$f(x) = -(x - a) - 2(x + 2a) = -x + a - 2x - 4a = -3x - 3a$.

(ii) $-2a \leq x < a$ のとき、

$x - a < 0$ かつ $x + 2a \geq 0$ なので、

$f(x) = -(x - a) + 2(x + 2a) = -x + a + 2x + 4a = x + 5a$.

(iii) $a \leq x$ のとき、

$x - a \geq 0$ かつ $x + 2a > 0$ なので、

$f(x) = (x - a) + 2(x + 2a) = x - a + 2x + 4a = 3x + 3a$.

したがって、$f(x)$ は次のように表される。

$f(x) = \begin{cases} -3x - 3a & (x < -2a) \\ x + 5a & (-2a \leq x < a) \\ 3x + 3a & (a \leq x) \end{cases}$

次に、$f(x) = 6a + 3$ を満たす $x$ を求める。

(i) $x < -2a$ のとき、

$-3x - 3a = 6a + 3$ より、 $-3x = 9a + 3$ となり、$x = -3a - 1$。

$x < -2a$ なので、$-3a - 1 < -2a$。よって、$-a < 1$ より、$a > -1$。

$a$は正の定数より、$a > 0$ なので、$x = -3a - 1$ は解となる。

(ii) $-2a \leq x < a$ のとき、

$x + 5a = 6a + 3$ より、$x = a + 3$。

$-2a \leq x < a$ なので、$-2a \leq a + 3 < a$。

$a + 3 < a$ は成り立たないので、この範囲には解は存在しない。

(iii) $a \leq x$ のとき、

$3x + 3a = 6a + 3$ より、$3x = 3a + 3$ となり、$x = a + 1$。

$a \leq x$ なので、$a \leq a + 1$。これは常に成り立つので、$x = a + 1$ は解となる。

したがって、$f(x) = 6a + 3$ を満たす $x$ は、$x = -3a - 1$ と $x = a + 1$ の2個である。

次に、これらの解の平方の和が4となる $a$ の値を求める。

$(-3a - 1)^2 + (a + 1)^2 = 4$

$9a^2 + 6a + 1 + a^2 + 2a + 1 = 4$

$10a^2 + 8a + 2 = 4$

$10a^2 + 8a - 2 = 0$

$5a^2 + 4a - 1 = 0$

$(5a - 1)(a + 1) = 0$

$a = \frac{1}{5}, -1$

$a$ は正の定数なので、$a = \frac{1}{5}$。

3. 最終的な答え

アイ: -3

ウ: 3

エ: 5

オ: 3

カ: 3

キ: 2

ク: 1

ケ: 5

したがって、$f(x) = \begin{cases} -3x - 3a & (x < -2a) \\ x + 5a & (-2a \leq x < a) \\ 3x + 3a & (a \leq x) \end{cases}$。

$f(x) = 6a + 3$ を満たす $x$ は全部で 2 個あり、それらの平方の和が 4 となる $a$ の値は $a = \frac{1}{5}$ である。