$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 3x}{x}$ を求めよ。

## (1) の問題

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 3x}{x}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

分子の $x^2 + 3x$ を $x$ で因数分解すると $x(x+3)$ となる。したがって、

$\frac{x^2 + 3x}{x} = \frac{x(x+3)}{x}$

$x \ne 0$ のとき、$\frac{x(x+3)}{x} = x+3$ となる。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 3x}{x} = \lim_{x \to 0} (x+3)$

$x$ を $0$ に近づけると、$x+3$ は $0+3 = 3$ に近づく。

3. 最終的な答え

3

## (2) の問題

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2x^2 - 5x + 2}{2x - 1}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

分子の $2x^2 - 5x + 2$ を因数分解すると $(2x - 1)(x - 2)$ となる。

したがって、

$\frac{2x^2 - 5x + 2}{2x - 1} = \frac{(2x - 1)(x - 2)}{2x - 1}$

$2x - 1 \ne 0$ つまり $x \ne \frac{1}{2}$ のとき、$\frac{(2x - 1)(x - 2)}{2x - 1} = x - 2$ となる。

したがって、

$\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2x^2 - 5x + 2}{2x - 1} = \lim_{x \to \frac{1}{2}} (x - 2)$

$x$ を $\frac{1}{2}$ に近づけると、$x - 2$ は $\frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}$ に近づく。

3. 最終的な答え

$-\frac{3}{2}$

## (3) の問題

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} (\frac{1}{x - 7} + \frac{1}{7})$ を求めよ。

2. 解き方の手順

括弧の中を通分すると、

$\frac{1}{x - 7} + \frac{1}{7} = \frac{7 + (x - 7)}{7(x - 7)} = \frac{x}{7(x - 7)}$

したがって、

$\frac{1}{x} (\frac{1}{x - 7} + \frac{1}{7}) = \frac{1}{x} \frac{x}{7(x - 7)} = \frac{1}{7(x - 7)}$

$x \ne 0$ のとき、

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} (\frac{1}{x - 7} + \frac{1}{7}) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{7(x - 7)}$

$x$ を $0$ に近づけると、$\frac{1}{7(x - 7)}$ は $\frac{1}{7(0 - 7)} = \frac{1}{-49} = -\frac{1}{49}$ に近づく。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{49}$