整数 $m, n$ が $48n + 3 = m^2$ を満たすような組が存在しないことを示す問題です。

1. 問題の内容

整数 $m, n$ が $48n + 3 = m^2$ を満たすような組が存在しないことを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式 $48n + 3 = m^2$ を変形します。

両辺を3で割ると、

$16n + 1 = \frac{m^2}{3}$

が得られます。この式から、$m^2$ は3の倍数である必要があります。

したがって、$m$ も3の倍数でなければなりません。そこで、$m = 3k$ (kは整数) とおきます。これを元の式に代入すると、

$48n + 3 = (3k)^2$

$48n + 3 = 9k^2$

両辺を3で割ると、

$16n + 1 = 3k^2$

となります。ここで、$16n + 1$ は3で割ると1余る数です。つまり、$3k^2$ は3で割ると1余る数です。

次に、$k$ を $3p$、$3p+1$、$3p+2$ (pは整数)のいずれかの形で表します。

- $k = 3p$ のとき、$3k^2 = 3(3p)^2 = 27p^2$ となり、これは3で割り切れます。

- $k = 3p+1$ のとき、$3k^2 = 3(3p+1)^2 = 3(9p^2+6p+1) = 27p^2+18p+3$ となり、これは3で割り切れます。

- $k = 3p+2$ のとき、$3k^2 = 3(3p+2)^2 = 3(9p^2+12p+4) = 27p^2+36p+12$ となり、これは3で割り切れます。

したがって、$3k^2$ は常に3で割り切れるため、$16n+1$ は3で割ると1余るという条件に矛盾します。

つまり、$48n+3 = m^2$ を満たす整数 $m, n$ は存在しません。

3. 最終的な答え

$48n+3 = m^2$ を満たす整数 $m, n$ の組は存在しない。