正七角形ABCDEFGについて、以下の数を求めます。 (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数 (2) 対角線の本数 (3) 正七角形と1辺を共有する三角形の個数

1. 問題の内容

正七角形ABCDEFGについて、以下の数を求めます。

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

(2) 対角線の本数

(3) 正七角形と1辺を共有する三角形の個数

2. 解き方の手順

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

正七角形の7個の頂点から3個を選ぶ組み合わせの数を求めます。これは組み合わせの記号を用いて $_7C_3$ と表されます。

$_7C_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

(2) 対角線の本数

正七角形の頂点は7個なので、線分の総数は $_7C_2$ です。しかし、この中には辺も含まれているので、辺の数（7本）を引く必要があります。

$_7C_2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

対角線の本数は $21 - 7 = 14$

対角線の本数の公式を使うこともできます。n角形の対角線の本数は $\frac{n(n-3)}{2}$ で与えられます。

この公式を用いると、7角形の場合、対角線の本数は $\frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 \times 4}{2} = 14$ となります。

(3) 正七角形と1辺を共有する三角形の個数

1つの辺を共有する三角形は、その辺の両端の頂点以外の頂点を1つ選ぶことで作ることができます。正七角形は7つの辺を持っています。それぞれの辺に対して、残りの頂点は $7-2-1 = 4$ 個あります。したがって、1つの辺に対して4つの三角形を作ることができます。

したがって、7つの辺に対して $7 \times 4 = 28$ 個の三角形を作ることができます。

3. 最終的な答え

(1) 35個

(2) 14本

(3) 28個