問題は、$\sqrt{3}$ が無理数であることの証明の穴埋め問題です。アからケに当てはまる適切な言葉、数、式を答える必要があります。

1. 問題の内容

問題は、$\sqrt{3}$ が無理数であることの証明の穴埋め問題です。アからケに当てはまる適切な言葉、数、式を答える必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{3}$ は無理数であることを背理法で証明するために、$\sqrt{3}$ が有理数であると仮定します (ア)。すると、互いに素な2つの自然数 $a, b$ を用いて、$\sqrt{3}=\frac{a}{b}$ と表せます (イ)。

このとき、$a=\sqrt{3}b$ (ウ)。両辺を2乗すると、$a^2 = 3b^2$ (エ) (①)。

よって、$a^2$ は 3 の倍数 (オ) であり、(1)より、$a$ は 3 の倍数 (カ) であると言えます。

ゆえに、$a$ はある自然数 $c$ を用いて、$a=3c$ (キ) と表されます (②)。②を①に代入すると、$(3c)^2 = 3b^2$ となり、$9c^2 = 3b^2$ です。

両辺を3で割り、入れ替えると、$b^2 = 3c^2$ となります。

よって、$b^2$ は 3 の倍数 (オ) であり、(1) を用いると、$b$ は 3 の倍数 (カ) であると言えます。

ゆえに、$a$ と $b$ はともに 3 の倍数 (ク) となります。

このことは、$a$ と $b$ が互いに素 (ケ) であることに矛盾します。

したがって、$\sqrt{3}$ は無理数です。

3. 最終的な答え

ア：有理数

イ：$\sqrt{3} = \frac{a}{b}$

ウ：$\sqrt{3}$

エ：3

オ：3の倍数

カ：3の倍数

キ：3

ク：3の倍数

ケ：互いに素