異なる色の9個の玉を、以下の3つの場合に分けて、それぞれの場合の分け方の総数を求める問題です。 (1) A, B, C の3つの組に3個ずつ分ける。 (2) 3個ずつの3つの組に分ける。 (3) 2個、2個、2個、3個の4つの組に分ける。

1. 問題の内容

異なる色の9個の玉を、以下の3つの場合に分けて、それぞれの場合の分け方の総数を求める問題です。

(1) A, B, C の3つの組に3個ずつ分ける。

(2) 3個ずつの3つの組に分ける。

(3) 2個、2個、2個、3個の4つの組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) A, B, C の3つの組に3個ずつ分ける場合

まず、9個の玉からAの組に入れる3個を選ぶ組み合わせは $_9C_3$ 通りです。

次に、残りの6個の玉からBの組に入れる3個を選ぶ組み合わせは $_6C_3$ 通りです。

最後に、残りの3個の玉は自動的にCの組に入ります。

したがって、A, B, C の3つの組に3個ずつ分ける分け方の総数は $_9C_3 \times _6C_3 \times _3C_3$ で計算できます。

$_9C_3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$

$_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

$_3C_3 = \frac{3!}{3!0!} = 1$

よって、

$84 \times 20 \times 1 = 1680$ 通り

(2) 3個ずつの3つの組に分ける場合

3個ずつの3つの組に分ける分け方は、まずA, B, C の3つの組に3個ずつ分ける場合と同じように、$_9C_3 \times _6C_3 \times _3C_3 = 1680$ 通りです。

ただし、組に区別がないので、A, B, Cの並び順を考慮する必要がありません。

3つの組の並び順は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通りあるので、1680通りを6で割る必要があります。

したがって、3個ずつの3つの組に分ける分け方の総数は $\frac{1680}{6} = 280$ 通りです。

(3) 2個、2個、2個、3個の4つの組に分ける場合

まず、9個の玉から3個を選ぶ組み合わせは $_9C_3$ 通りです。

次に、残りの6個から2個を選ぶ組み合わせは $_6C_2$ 通りです。

その次に、残りの4個から2個を選ぶ組み合わせは $_4C_2$ 通りです。

最後に、残りの2個から2個を選ぶ組み合わせは $_2C_2$ 通りです。

2個の組が3つあるので、区別しないために $3!$ で割る必要があります。

したがって、2個、2個、2個、3個の4つの組に分ける分け方の総数は $\frac{_9C_3 \times _6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2}{3!}$ で計算できます。

$_9C_3 = 84$

$_6C_2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

$_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

$_2C_2 = 1$

よって、

$\frac{84 \times 15 \times 6 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = \frac{7560}{6} = 1260$ 通り

3. 最終的な答え

(1) 1680 通り

(2) 280 通り

(3) 1260 通り