実数 $m$ に対して、方程式 $|x|(x-4) = 2x + m$ が異なる3つの実数解を持つような $m$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

実数 $m$ に対して、方程式 $|x|(x-4) = 2x + m$ が異なる3つの実数解を持つような $m$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = |x|(x-4)$ のグラフを描きます。

$x \geq 0$ のとき、$y = x(x-4) = x^2 - 4x$ です。このグラフは下に凸な放物線で、頂点は $(2, -4)$ です。

$x < 0$ のとき、$y = -x(x-4) = -x^2 + 4x$ です。このグラフは上に凸な放物線で、頂点は $(2, 4)$ です。しかし、この領域では $x < 0$ なので、$x=2$ は定義域に含まれません。頂点の座標は実際には $(2,4)$ではありません。$y = -(x^2-4x+4)+4 = -(x-2)^2+4$.

次に、$y = 2x + m$ のグラフを描きます。これは傾きが2で、$y$切片が $m$ の直線です。

$y = |x|(x-4)$ のグラフと $y = 2x + m$ のグラフが3つの異なる交点を持つような $m$ の範囲を求めます。

$x>0$ のとき、$x^2-4x = 2x+m$ より、$x^2-6x-m = 0$。

$x<0$ のとき、$-x^2+4x = 2x+m$ より、$x^2-2x+m = 0$。

$x^2-6x-m = 0$ の判別式を$D_1$とすると、$D_1 = (-6)^2 - 4(1)(-m) = 36 + 4m$

$x^2-2x+m = 0$ の判別式を$D_2$とすると、$D_2 = (-2)^2 - 4(1)(m) = 4 - 4m$

$D_1 > 0$ より $36+4m>0$ なので、$m > -9$。

$D_2 > 0$ より $4-4m>0$ なので、$m < 1$。

また、$x^2-6x-m = 0$ の解を $x_1, x_2$ とすると、$x_1+x_2 = 6$, $x_1x_2 = -m$。

$x^2-2x+m = 0$ の解を $x_3, x_4$ とすると、$x_3+x_4 = 2$, $x_3x_4 = m$。

グラフを描いて考えると、放物線 $y = x^2-4x$ の頂点の $y$ 座標は -4 であり、$y = 2x+m$ が頂点を通るとき、$2 \times 2 + m = -4$ より、$4+m = -4$ で、$m = -8$。このとき、解は2個。

放物線 $y = -x^2+4x$ は原点を通る。$x=0$ のとき、$0 = 2(0)+m$ なので、$m=0$。このとき解は2個。

$y = x^2-4x$ で $x=0$ の時、$y=0$なので、 $2(0)+m = 0$, $m = 0$.

条件を満たすには、$m > -9$ かつ $m<1$ で、且つ、 $x > 0$となる解を1つ、$x<0$となる解を2つ持てばよい。$m=0$の時は、$x>0$となる解が$x=6$、$x<0$となる解が$x=0$と$x=2$ (不適)。

3つの実数解を持つ条件は、$x^2-2x+m = 0$ が2つの負の解を持ち、$x^2-6x-m=0$が正の解を持つことです。

$D_2>0$より、$m<1$。

$x_3x_4>0$より、$m>0$。

$x_3+x_4<0$より、$2<0$ (不適)。

したがって、$0<m<1$の場合、$x^2-2x+m=0$ は2つの解を持ち、それらの解の和が$2>0$なので、$0<x<2$.

$m=0$の場合、解は0, 2。 $m$が増加すると、解は虚数となる。

$D_1 = 36+4m > 0$, $m > -9$.

$m=0$のとき、 $|x|(x-4)=2x$。$x(x-4)=2x$より、$x^2-6x=0$, $x(x-6)=0$. $x=0,6$. $-x(x-4)=2x$より、$-x^2+4x=2x$, $x^2-2x=0$, $x(x-2)=0$, $x=0,2$.よって解は$x=0, 2, 6$.

異なる3つの解を持つのは、$0 < m < 3$。

3. 最終的な答え

$0 < m < 3$