与えられた3つの二重根号の式を簡単にします。 (1) $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$ (2) $\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}$ (3) $\sqrt{2 - \sqrt{3}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの二重根号の式を簡単にします。

(1) $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$

(2) $\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}$

(3) $\sqrt{2 - \sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$ の場合

$\sqrt{a + b + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ の形を目指します。

$7 = 5 + 2$ かつ $10 = 5 \times 2$ であるため、

$\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{5 + 2 + 2\sqrt{5 \times 2}} = \sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$

(2) $\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}$ の場合

$\sqrt{12 - 6\sqrt{3}} = \sqrt{12 - 2\sqrt{27}}$ と変形します。

$\sqrt{a + b - 2\sqrt{ab}} = |\sqrt{a} - \sqrt{b}|$ の形を目指します。

$12 = 9 + 3$ かつ $27 = 9 \times 3$ であるため、

$\sqrt{12 - 2\sqrt{27}} = \sqrt{9 + 3 - 2\sqrt{9 \times 3}} = \sqrt{(\sqrt{9} - \sqrt{3})^2} = |3 - \sqrt{3}| = 3 - \sqrt{3}$

(3) $\sqrt{2 - \sqrt{3}}$ の場合

$\sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$ と変形します。

$\sqrt{a + b - 2\sqrt{ab}} = |\sqrt{a} - \sqrt{b}|$ の形を目指します。

$4 = 3 + 1$ かつ $3 = 3 \times 1$ であるため、

$\frac{\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3 + 1 - 2\sqrt{3 \times 1}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{1})^2}}{\sqrt{2}} = \frac{|\sqrt{3} - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}}$

さらに有理化して、

$\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} - 1)\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5} + \sqrt{2}$

(2) $3 - \sqrt{3}$

(3) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$