不定積分 $\int \frac{dx}{x^2+3x}$ を計算し、選択肢の中から正しい答えを選びなさい。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{dx}{x^2+3x}$ を計算し、選択肢の中から正しい答えを選びなさい。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $\frac{1}{x^2+3x}$ を部分分数分解します。

$x^2+3x = x(x+3)$ なので、

$$\frac{1}{x(x+3)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+3}$$

と置きます。両辺に $x(x+3)$ を掛けると、

$$1 = A(x+3) + Bx$$

となります。

$x = 0$ を代入すると、$1 = 3A$ より $A = \frac{1}{3}$

$x = -3$ を代入すると、$1 = -3B$ より $B = -\frac{1}{3}$

したがって、

$$\frac{1}{x^2+3x} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+3}\right)$$

となります。

よって、

$$\int \frac{dx}{x^2+3x} = \frac{1}{3} \int \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+3}\right)dx = \frac{1}{3}(\int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1}{x+3} dx)$$

$$= \frac{1}{3}(\log|x| - \log|x+3|) + C = \frac{1}{3}\log\left|\frac{x}{x+3}\right| + C$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}\log\left|\frac{x}{x+3}\right| + C$

選択肢の⑧が正解です。