与えられた二次関数の最大値と最小値を、定義域が与えられた範囲内で求める問題です。 (1) $y = x^2 - 4x + 1$ ($0 \le x \le 3$) (2) $y = -2x^2 + 12x - 10$ ($1 \le x \le 2$)

1. 問題の内容

与えられた二次関数の最大値と最小値を、定義域が与えられた範囲内で求める問題です。

(1) $y = x^2 - 4x + 1$ ($0 \le x \le 3$)

(2) $y = -2x^2 + 12x - 10$ ($1 \le x \le 2$)

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = x^2 - 4x + 1$ を平方完成します。

$y = (x - 2)^2 - 3$

この二次関数の頂点は $(2, -3)$ です。定義域 $0 \le x \le 3$ におけるグラフを考えます。

$x = 0$ のとき $y = (0 - 2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$

$x = 2$ のとき $y = (2 - 2)^2 - 3 = -3$

$x = 3$ のとき $y = (3 - 2)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$

したがって、定義域内における最大値は $x=0$ のときの $y=1$ であり、最小値は $x=2$ のときの $y=-3$ です。

(2)

次に、$y = -2x^2 + 12x - 10$ を平方完成します。

$y = -2(x^2 - 6x) - 10$

$y = -2(x - 3)^2 + 18 - 10$

$y = -2(x - 3)^2 + 8$

この二次関数の頂点は $(3, 8)$ です。定義域 $1 \le x \le 2$ におけるグラフを考えます。

$x = 1$ のとき $y = -2(1 - 3)^2 + 8 = -2(4) + 8 = -8 + 8 = 0$

$x = 2$ のとき $y = -2(2 - 3)^2 + 8 = -2(1) + 8 = -2 + 8 = 6$

したがって、定義域内における最大値は $x=2$ のときの $y=6$ であり、最小値は $x=1$ のときの $y=0$ です。

3. 最終的な答え

(1)

最大値：1 (x = 0 のとき)

最小値：-3 (x = 2 のとき)

(2)

最大値：6 (x = 2 のとき)

最小値：0 (x = 1 のとき)