定積分 $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos^2 x \, dx$ の値を求め、その結果を $\frac{[33]}{[34]} \pi$ の形で表す。[33]と[34]に入る数字を答える。

解析学定積分三角関数積分計算
2025/4/2

1. 問題の内容

定積分 π2πcos2xdx\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos^2 x \, dx の値を求め、その結果を [33][34]π\frac{[33]}{[34]} \pi の形で表す。[33]と[34]に入る数字を答える。

2. 解き方の手順

cos2x\cos^2 x を半角の公式を用いて変形します。半角の公式は cos2x=1+cos(2x)2\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} です。これを用いて積分を計算します。
π2πcos2xdx=π2π1+cos(2x)2dx\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos^2 x \, dx = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx
=12π2π(1+cos(2x))dx= \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (1 + \cos(2x)) \, dx
=12[x+12sin(2x)]π2π= \frac{1}{2} \left[ x + \frac{1}{2} \sin(2x) \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}
=12[(π+12sin(2π))(π2+12sin(π))]= \frac{1}{2} \left[ \left( \pi + \frac{1}{2} \sin(2\pi) \right) - \left( \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin(\pi) \right) \right]
sin(2π)=0\sin(2\pi) = 0 かつ sin(π)=0\sin(\pi) = 0 なので、
=12[ππ2]= \frac{1}{2} \left[ \pi - \frac{\pi}{2} \right]
=12[π2]= \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{2} \right]
=π4= \frac{\pi}{4}
したがって、π2πcos2xdx=14π\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos^2 x \, dx = \frac{1}{4} \pi です。

3. 最終的な答え

問題の形式 [33][34]π\frac{[33]}{[34]} \pi に合わせると、14π\frac{1}{4} \pi となるので、[33] = 1, [34] = 4となります。
最終的な答え:
[33] = 1
[34] = 4

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