定積分 $\int_{\frac{1}{2}}^1 \log(2x) dx$ を計算し、その結果を $\log[\text{35}] - \frac{[\text{36}]}{[\text{37}]}$ の形式で表す。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{\frac{1}{2}}^1 \log(2x) dx$ を計算し、その結果を $\log[\text{35}] - \frac{[\text{36}]}{[\text{37}]}$ の形式で表す。

2. 解き方の手順

まず、$\log(2x) = \log(2) + \log(x)$ であるから、積分を以下のように分解できる。

$$\int_{\frac{1}{2}}^1 \log(2x) dx = \int_{\frac{1}{2}}^1 (\log(2) + \log(x)) dx = \int_{\frac{1}{2}}^1 \log(2) dx + \int_{\frac{1}{2}}^1 \log(x) dx$$

$\int_{\frac{1}{2}}^1 \log(2) dx = \log(2) \int_{\frac{1}{2}}^1 dx = \log(2) [x]_{\frac{1}{2}}^1 = \log(2)(1-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}\log(2) = \log(\sqrt{2})$

$\int \log(x) dx$ は部分積分で求める。 $u=\log(x)$, $dv=dx$ とすると、$du=\frac{1}{x}dx$, $v=x$ であるから、

$\int \log(x) dx = x\log(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x\log(x) - \int 1 dx = x\log(x) - x + C$

したがって、

$\int_{\frac{1}{2}}^1 \log(x) dx = [x\log(x) - x]_{\frac{1}{2}}^1 = (1\log(1) - 1) - (\frac{1}{2}\log(\frac{1}{2}) - \frac{1}{2}) = (0-1) - (\frac{1}{2}(-\log(2)) - \frac{1}{2}) = -1 + \frac{1}{2}\log(2) + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\log(2)$

よって、

$\int_{\frac{1}{2}}^1 \log(2x) dx = \frac{1}{2}\log(2) - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\log(2) = \log(2) - \frac{1}{2} = \log(2) - \frac{1}{2}$

$\log(2) - \frac{1}{2}$を $\log[\text{35}] - \frac{[\text{36}]}{[\text{37}]}$ の形式で表す。

$\log(2) - \frac{1}{2} = \log(2) - \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

[35] = 2

[36] = 1

[37] = 2

よって、

$\int_{\frac{1}{2}}^1 \log(2x) dx = \log 2 - \frac{1}{2}$