定積分 $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{(2x+1)^3} dx$ を計算し、その結果を分数で表す問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{(2x+1)^3} dx$ を計算し、その結果を分数で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$t = 2x+1$ と置換積分を行います。すると、$dt = 2dx$ となり、$x = \frac{t-1}{2}$ となります。

積分範囲も変更します。$x=0$ のとき $t=1$、$x=\frac{1}{2}$ のとき $t=2$ です。

したがって、与えられた積分は次のように書き換えられます。

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{(2x+1)^3} dx = \int_{1}^{2} \frac{\frac{t-1}{2}}{t^3} \frac{dt}{2} = \frac{1}{4} \int_{1}^{2} \frac{t-1}{t^3} dt$

次に、積分の中身を整理します。

$\frac{t-1}{t^3} = \frac{t}{t^3} - \frac{1}{t^3} = \frac{1}{t^2} - \frac{1}{t^3} = t^{-2} - t^{-3}$

したがって、積分は次のようになります。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (t^{-2} - t^{-3}) dt = \frac{1}{4} \left[ \frac{t^{-1}}{-1} - \frac{t^{-2}}{-2} \right]_{1}^{2} = \frac{1}{4} \left[ -\frac{1}{t} + \frac{1}{2t^2} \right]_{1}^{2}$

積分範囲を代入します。

$\frac{1}{4} \left[ \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{2(2^2)} \right) - \left( -\frac{1}{1} + \frac{1}{2(1^2)} \right) \right] = \frac{1}{4} \left[ \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{8} \right) - \left( -1 + \frac{1}{2} \right) \right]$

$\frac{1}{4} \left[ -\frac{4}{8} + \frac{1}{8} - \left( -\frac{1}{2} \right) \right] = \frac{1}{4} \left[ -\frac{3}{8} + \frac{1}{2} \right] = \frac{1}{4} \left[ -\frac{3}{8} + \frac{4}{8} \right] = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{8} \right] = \frac{1}{32}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{32}$

したがって、38は1、39は3、40は2となります。