曲線 $y = e^{2x}$ と3本の直線 $y = 1$, $x = -1$, $x = 1$ で囲まれる部分の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = e^{2x}$ と3本の直線 $y = 1$, $x = -1$, $x = 1$ で囲まれる部分の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = e^{2x}$ と $y = 1$ の交点を求めます。

$e^{2x} = 1$ より $2x = 0$、したがって $x = 0$ です。

求める面積は、$\int_{-1}^1 |e^{2x} - 1| dx$ で表されます。

$x < 0$ のとき $e^{2x} < 1$, $x > 0$ のとき $e^{2x} > 1$ なので積分範囲を分割します。

$\int_{-1}^1 |e^{2x} - 1| dx = \int_{-1}^0 (1 - e^{2x}) dx + \int_0^1 (e^{2x} - 1) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{-1}^0 (1 - e^{2x}) dx = [x - \frac{1}{2}e^{2x}]_{-1}^0 = (0 - \frac{1}{2}) - (-1 - \frac{1}{2}e^{-2}) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}e^{-2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}e^{-2}$

$\int_0^1 (e^{2x} - 1) dx = [\frac{1}{2}e^{2x} - x]_0^1 = (\frac{1}{2}e^2 - 1) - (\frac{1}{2} - 0) = \frac{1}{2}e^2 - \frac{3}{2}$

したがって、求める面積は

$(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}e^{-2}) + (\frac{1}{2}e^2 - \frac{3}{2}) = \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{2}e^{-2} - 1 = \frac{1}{2}(e^2 + e^{-2}) - 1$

よって、

[41] = 2

[42] = 2

[43] = 1

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}(e^{2} + e^{-2}) - 1$