(1) 関数 $f(x,y) = \log_y x$ について、点 $(3, e^2)$ における偏微分 $\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial f}{\partial y}$ の値を求めます。 (2) 関数 $f(x,y) = x^y$ について、点 $(1, e)$ における偏微分 $\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x,y) = \log_y x$ について、点 $(3, e^2)$ における偏微分 $\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial f}{\partial y}$ の値を求めます。

(2) 関数 $f(x,y) = x^y$ について、点 $(1, e)$ における偏微分 $\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x,y) = \log_y x = \frac{\ln x}{\ln y}$ と書き換えます。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{\ln y} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln y}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \ln x \cdot \frac{-1}{(\ln y)^2} \cdot \frac{1}{y} = -\frac{\ln x}{y(\ln y)^2}$

$(x,y) = (3, e^2)$ を代入します。

$\frac{\partial f}{\partial x} (3, e^2) = \frac{1}{3 \ln e^2} = \frac{1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6}$

$\frac{\partial f}{\partial y} (3, e^2) = -\frac{\ln 3}{e^2 (\ln e^2)^2} = -\frac{\ln 3}{e^2 \cdot 2^2} = -\frac{\ln 3}{4e^2}$

(2) $f(x,y) = x^y$

$\frac{\partial f}{\partial x} = yx^{y-1}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = y(y-1)x^{y-2}$

$(x,y) = (1, e)$ を代入します。

$\frac{\partial f}{\partial x} (1, e) = e \cdot 1^{e-1} = e$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (1, e) = e(e-1)1^{e-2} = e(e-1) = e^2 - e$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\partial f}{\partial x}(3, e^2) = \frac{1}{6}$, $\frac{\partial f}{\partial y}(3, e^2) = -\frac{\ln 3}{4e^2}$

(2) $\frac{\partial f}{\partial x}(1, e) = e$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1, e) = e^2 - e$