与えられた関数の極限 $\lim_{x \to 1} \frac{x+1}{x^3 - x^2 - x + 1}$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた関数の極限

$\lim_{x \to 1} \frac{x+1}{x^3 - x^2 - x + 1}$

を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$x^3 - x^2 - x + 1 = x^2(x-1) - (x-1) = (x^2-1)(x-1) = (x-1)(x+1)(x-1) = (x-1)^2(x+1)$

したがって、

$\lim_{x \to 1} \frac{x+1}{x^3 - x^2 - x + 1} = \lim_{x \to 1} \frac{x+1}{(x-1)^2(x+1)} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{(x-1)^2}$

$x$が1に近づくとき、$(x-1)^2$は0に近づきます。

したがって、$\frac{1}{(x-1)^2}$は正の無限大に発散します。

3. 最終的な答え

$\infty$