(3) 定積分 $\int_{1}^{2} x^2 \log(x^3) dx$ の値を求めよ。 (4) 定積分 $\int_{0}^{1} \frac{x(x+2)(x+4)}{\sqrt{x^2+4x+1}}dx$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(3) 定積分 $\int_{1}^{2} x^2 \log(x^3) dx$ の値を求めよ。

(4) 定積分 $\int_{0}^{1} \frac{x(x+2)(x+4)}{\sqrt{x^2+4x+1}}dx$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(3)

まず、$\log(x^3) = 3 \log(x)$であるから、

$\int_{1}^{2} x^2 \log(x^3) dx = 3 \int_{1}^{2} x^2 \log(x) dx$となる。

次に、部分積分を行う。

$u = \log(x)$, $dv = x^2 dx$とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^3}{3}$となる。

よって、

$\int_{1}^{2} x^2 \log(x) dx = \left[ \frac{x^3}{3} \log(x) \right]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x^3}{3} \frac{1}{x} dx = \left[ \frac{x^3}{3} \log(x) \right]_{1}^{2} - \frac{1}{3} \int_{1}^{2} x^2 dx$

$= \left[ \frac{x^3}{3} \log(x) \right]_{1}^{2} - \frac{1}{3} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \left( \frac{8}{3} \log(2) - \frac{1}{3} \log(1) \right) - \frac{1}{9} (8-1) = \frac{8}{3} \log(2) - \frac{7}{9}$

したがって、

$3 \int_{1}^{2} x^2 \log(x) dx = 3 \left( \frac{8}{3} \log(2) - \frac{7}{9} \right) = 8 \log(2) - \frac{7}{3}$

(4)

被積分関数を変形する。$x(x+2)(x+4) = x(x^2 + 6x + 8) = x^3 + 6x^2 + 8x$である。

$\frac{d}{dx}(x^2+4x+1) = 2x+4$であるから、被積分関数を調整する。

$x^3 + 6x^2 + 8x = x(x^2+4x+1) + 2x^2+7x$と変形する。

さらに、$2x^2+7x = 2(x^2+4x+1) -x - 2$と変形する。

よって、$x^3 + 6x^2 + 8x = x(x^2+4x+1)+2(x^2+4x+1)-x-2 = (x+2)(x^2+4x+1)-x-2$

したがって、$\int_{0}^{1} \frac{x(x+2)(x+4)}{\sqrt{x^2+4x+1}}dx = \int_{0}^{1} \frac{(x+2)(x^2+4x+1)-(x+2)}{\sqrt{x^2+4x+1}}dx = \int_{0}^{1} (x+2) \sqrt{x^2+4x+1}dx - \int_{0}^{1} \frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x+1}}dx$

$\int_{0}^{1} \frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x+1}}dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{2x+4}{\sqrt{x^2+4x+1}}dx = \frac{1}{2} [2\sqrt{x^2+4x+1}]_0^1 = [\sqrt{x^2+4x+1}]_0^1 = \sqrt{6} - 1$

$\int_{0}^{1} (x+2) \sqrt{x^2+4x+1}dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (2x+4) \sqrt{x^2+4x+1}dx = \frac{1}{2} \frac{2}{3} (x^2+4x+1)^{3/2}|_0^1 = \frac{1}{3} ((x^2+4x+1)^{3/2}) |_0^1 = \frac{1}{3}(6^{3/2}-1)$

$\int_{0}^{1} (x+2) \sqrt{x^2+4x+1}dx - \int_{0}^{1} \frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x+1}}dx = \frac{1}{3} (6\sqrt{6}-1) - (\sqrt{6}-1) = 2\sqrt{6}-\frac{1}{3} - \sqrt{6} + 1 = \sqrt{6}+\frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(3) $8\log(2) - \frac{7}{3}$

(4) $\sqrt{6} + \frac{2}{3}$