与えられた極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\log_e(1 + \sin x)}{\sin x}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\log_e(1 + \sin x)}{\sin x}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$t = \sin x$ と置換します。$x \to 0$ のとき、$t = \sin x \to \sin 0 = 0$ となるので、$t \to 0$ となります。

したがって、与えられた極限は次のように書き換えることができます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e(1 + \sin x)}{\sin x} = \lim_{t \to 0} \frac{\log_e(1 + t)}{t}$

ここで、$\lim_{t \to 0} \frac{\log_e(1 + t)}{t} = 1$ という公式を利用します。

これは、$\log_e(1 + t)$ の $t=0$ におけるテイラー展開が $\log_e(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \dots$ であることから、$\frac{\log_e(1 + t)}{t} = 1 - \frac{t}{2} + \frac{t^2}{3} - \dots$となり、$t \to 0$ のとき、$\lim_{t \to 0} \frac{\log_e(1 + t)}{t} = 1$ となることから導けます。あるいは、ロピタルの定理を用いることもできます。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e(1 + \sin x)}{\sin x} = 1$