与えられた定積分 $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{t^2}{(1+t^2)^2} dt$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{t^2}{(1+t^2)^2} dt$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$t = \tan\theta$ と変数変換する。このとき、$dt = \sec^2\theta d\theta$ となる。

積分範囲は、$t=0$ のとき $\theta = 0$、$t=\sqrt{3}$ のとき $\theta = \frac{\pi}{3}$ となる。

与えられた積分は

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\tan^2\theta}{(1+\tan^2\theta)^2} \sec^2\theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\tan^2\theta}{(\sec^2\theta)^2} \sec^2\theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\tan^2\theta}{\sec^2\theta} d\theta$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin^2\theta d\theta$

ここで、$\sin^2\theta = \frac{1-\cos(2\theta)}{2}$ であるから、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1-\cos(2\theta)}{2} d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (1-\cos(2\theta)) d\theta = \frac{1}{2} \left[\theta - \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_{0}^{\frac{\pi}{3}}$

$= \frac{1}{2} \left[\frac{\pi}{3} - \frac{1}{2}\sin(\frac{2\pi}{3}) - (0 - \frac{1}{2}\sin(0))\right] = \frac{1}{2} \left[\frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$

$= \frac{1}{2} \left[\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right] = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8}$