次の極限値を求める問題です。 $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+7}-3}{x-2}$解析学極限有理化関数の極限2025/7/221. 問題の内容次の極限値を求める問題です。limx→2x+7−3x−2\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+7}-3}{x-2}limx→2x−2x+7−32. 解き方の手順この極限は、x=2x=2x=2 を代入すると 00\frac{0}{0}00 の不定形になるため、工夫が必要です。分子の有理化を行います。x+7+3\sqrt{x+7} + 3x+7+3 を分子と分母にかけます。limx→2x+7−3x−2=limx→2(x+7−3)(x+7+3)(x−2)(x+7+3)\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+7}-3}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x+7}-3)(\sqrt{x+7}+3)}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)}limx→2x−2x+7−3=limx→2(x−2)(x+7+3)(x+7−3)(x+7+3)分子を展開すると、(x+7−3)(x+7+3)=(x+7)−9=x−2(\sqrt{x+7}-3)(\sqrt{x+7}+3) = (x+7) - 9 = x - 2(x+7−3)(x+7+3)=(x+7)−9=x−2したがって、limx→2x−2(x−2)(x+7+3)=limx→21x+7+3\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x+7}+3}limx→2(x−2)(x+7+3)x−2=limx→2x+7+31x→2x \to 2x→2 のとき、x+7→2+7=9=3\sqrt{x+7} \to \sqrt{2+7} = \sqrt{9} = 3x+7→2+7=9=3 なので、limx→21x+7+3=13+3=16\lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x+7}+3} = \frac{1}{3+3} = \frac{1}{6}limx→2x+7+31=3+31=613. 最終的な答え16\frac{1}{6}61