無限等比級数 $1 - \frac{x-1}{3} + \frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(x-1)^3}{27} + \cdots$ が収束するような実数 $x$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

無限等比級数 $1 - \frac{x-1}{3} + \frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(x-1)^3}{27} + \cdots$ が収束するような実数 $x$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

無限等比級数が収束するための条件は、公比 $r$ の絶対値が1より小さいことです。つまり、 $|r| < 1$ である必要があります。

この無限等比級数の初項は1、公比は $-\frac{x-1}{3}$ です。

したがって、収束条件は $|-\frac{x-1}{3}| < 1$ となります。

これを解くと、

$\qquad |-\frac{x-1}{3}| < 1$

$\qquad |\frac{x-1}{3}| < 1$

$\qquad -1 < \frac{x-1}{3} < 1$

各辺に3を掛けて、

$\qquad -3 < x-1 < 3$

各辺に1を加えて、

$\qquad -2 < x < 4$

したがって、無限等比級数が収束する $x$ の範囲は $-2 < x < 4$ となります。

3. 最終的な答え

$-2 < x < 4$