次の極限を求めます。 $\lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x-3} - 1}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x-3} - 1}$

2. 解き方の手順

まず、この極限をそのまま計算しようとすると、分母が0になるため、不定形となります。そこで、分母を有理化することを考えます。分母の共役な複素数である $\sqrt{x-3} + 1$ を分母と分子に掛けます。

$\lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x-3} - 1} = \lim_{x \to 4} \frac{(x-4)(\sqrt{x-3} + 1)}{(\sqrt{x-3} - 1)(\sqrt{x-3} + 1)}$

分母を展開すると、

$(\sqrt{x-3} - 1)(\sqrt{x-3} + 1) = (x-3) - 1 = x - 4$

となるので、

$\lim_{x \to 4} \frac{(x-4)(\sqrt{x-3} + 1)}{x - 4} = \lim_{x \to 4} (\sqrt{x-3} + 1)$

$x$を4に近づけると、

$\sqrt{x-3} + 1 = \sqrt{4-3} + 1 = \sqrt{1} + 1 = 1 + 1 = 2$

したがって、

$\lim_{x \to 4} (\sqrt{x-3} + 1) = 2$

3. 最終的な答え

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