以下の4つの関数の導関数を求める問題です。 (1) $\log(x + \sqrt{x^2+1})$ の3階導関数 (2) $2^x$ の導関数 (3) $x^x$ の導関数 (4) $\sqrt{(x+1)(x+2)(x+3)}$ の導関数

1. 問題の内容

以下の4つの関数の導関数を求める問題です。

(1) $\log(x + \sqrt{x^2+1})$ の3階導関数

(2) $2^x$ の導関数

(3) $x^x$ の導関数

(4) $\sqrt{(x+1)(x+2)(x+3)}$ の導関数

2. 解き方の手順

(1) $\log(x + \sqrt{x^2+1})$ の3階導関数

まず、1階導関数を求めます。

$\frac{d}{dx} \log(x + \sqrt{x^2+1}) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2+1}} \cdot (1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2+1}} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2+1}} \cdot \frac{\sqrt{x^2+1} + x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

次に、2階導関数を求めます。

$\frac{d^2}{dx^2} \log(x + \sqrt{x^2+1}) = \frac{d}{dx} (x^2+1)^{-1/2} = -\frac{1}{2} (x^2+1)^{-3/2} \cdot 2x = -x(x^2+1)^{-3/2}$

最後に、3階導関数を求めます。

$\frac{d^3}{dx^3} \log(x + \sqrt{x^2+1}) = \frac{d}{dx} (-x(x^2+1)^{-3/2}) = -(x^2+1)^{-3/2} -x \cdot (-\frac{3}{2}) (x^2+1)^{-5/2} \cdot 2x = -(x^2+1)^{-3/2} + 3x^2 (x^2+1)^{-5/2} = \frac{-(x^2+1) + 3x^2}{(x^2+1)^{5/2}} = \frac{2x^2-1}{(x^2+1)^{5/2}}$

(2) $2^x$ の導関数

$\frac{d}{dx} 2^x = 2^x \ln{2}$

(3) $x^x$ の導関数

$y = x^x$ とおくと、$\ln{y} = x \ln{x}$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln{x} + x \cdot \frac{1}{x} = \ln{x} + 1$

$\frac{dy}{dx} = y (\ln{x} + 1) = x^x (\ln{x} + 1)$

(4) $\sqrt{(x+1)(x+2)(x+3)}$ の導関数

$y = \sqrt{(x+1)(x+2)(x+3)}$ とおくと、$\ln{y} = \frac{1}{2} (\ln{(x+1)} + \ln{(x+2)} + \ln{(x+3)})$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} (\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+3})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \sqrt{(x+1)(x+2)(x+3)} (\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+3}) = \frac{1}{2} \sqrt{(x+1)(x+2)(x+3)} (\frac{(x+2)(x+3) + (x+1)(x+3) + (x+1)(x+2)}{(x+1)(x+2)(x+3)}) = \frac{1}{2} \frac{(x+2)(x+3) + (x+1)(x+3) + (x+1)(x+2)}{\sqrt{(x+1)(x+2)(x+3)}} = \frac{1}{2} \frac{x^2+5x+6+x^2+4x+3+x^2+3x+2}{\sqrt{(x+1)(x+2)(x+3)}} = \frac{3x^2+12x+11}{2\sqrt{(x+1)(x+2)(x+3)}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2x^2-1}{(x^2+1)^{5/2}}$

(2) $2^x \ln{2}$

(3) $x^x (\ln{x} + 1)$

(4) $\frac{3x^2+12x+11}{2\sqrt{(x+1)(x+2)(x+3)}}$