$\lim_{x \to -1} \frac{ax^2 + bx + 2}{x + 1} = 1$ が成り立つように、$a$ と $b$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to -1} \frac{ax^2 + bx + 2}{x + 1} = 1$ が成り立つように、$a$ と $b$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x \to -1$ のとき、分母が $0$ に近づくので、極限値が存在するためには、分子も $0$ に近づく必要があります。つまり、$x = -1$ を分子に代入すると $0$ になる必要があります。

$a(-1)^2 + b(-1) + 2 = 0$

$a - b + 2 = 0$

$b = a + 2$

これを元の式に代入します。

$\lim_{x \to -1} \frac{ax^2 + (a + 2)x + 2}{x + 1} = 1$

分子を因数分解します。$ax^2 + (a + 2)x + 2 = (x + 1)(ax + 2)$ となります。

よって、

$\lim_{x \to -1} \frac{(x + 1)(ax + 2)}{x + 1} = 1$

$\lim_{x \to -1} (ax + 2) = 1$

$x = -1$ を代入します。

$a(-1) + 2 = 1$

$-a + 2 = 1$

$-a = -1$

$a = 1$

$b = a + 2$ より、

$b = 1 + 2 = 3$

3. 最終的な答え

$a = 1$, $b = 3$