$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( 2 - \frac{6}{x+3} \right)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( 2 - \frac{6}{x+3} \right)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$2 - \frac{6}{x+3}$ を計算します。

$2 - \frac{6}{x+3} = \frac{2(x+3) - 6}{x+3} = \frac{2x+6-6}{x+3} = \frac{2x}{x+3}$

次に、与えられた極限を計算します。

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( 2 - \frac{6}{x+3} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{2x}{x+3} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{x(x+3)} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{x+3}$

$x \to 0$ のとき、$x+3 \to 3$ となるので、

$\lim_{x \to 0} \frac{2}{x+3} = \frac{2}{0+3} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$