次の不等式を証明する問題です。 (1) $x - \frac{x^3}{6} < \sin x < x$ ($x > 0$) (2) $x - \frac{x^3}{3} < \arctan x < x$ ($x > 0$)

1. 問題の内容

次の不等式を証明する問題です。

(1) $x - \frac{x^3}{6} < \sin x < x$ ($x > 0$)

(2) $x - \frac{x^3}{3} < \arctan x < x$ ($x > 0$)

2. 解き方の手順

(1) $x - \frac{x^3}{6} < \sin x < x$ ($x > 0$)について

まず、$\sin x < x$ を示す。

$f(x) = x - \sin x$ とおくと、$f(0) = 0$である。

$f'(x) = 1 - \cos x$ であり、$x>0$のとき $f'(x) > 0$。

したがって、$f(x)$は$x>0$で単調増加である。

よって、$x > 0$ において $f(x) > 0$、つまり $x > \sin x$。

次に、$x - \frac{x^3}{6} < \sin x$ を示す。

$g(x) = \sin x - x + \frac{x^3}{6}$ とおくと、$g(0) = 0$である。

$g'(x) = \cos x - 1 + \frac{x^2}{2}$

$g'(0) = 0$

$g''(x) = -\sin x + x$

ここで、$\sin x < x$ は既に示したので、$g''(x) > 0$。

したがって、$g'(x)$は$x>0$で単調増加であり、$g'(0)=0$より、$g'(x) > 0$。

よって、$g(x)$は$x>0$で単調増加であり、$g(0)=0$より、$g(x) > 0$。

つまり、$\sin x > x - \frac{x^3}{6}$。

以上より、$x - \frac{x^3}{6} < \sin x < x$ が示された。

(2) $x - \frac{x^3}{3} < \arctan x < x$ ($x > 0$)について

まず、$\arctan x < x$ を示す。

$h(x) = x - \arctan x$ とおくと、$h(0) = 0$である。

$h'(x) = 1 - \frac{1}{1+x^2} = \frac{x^2}{1+x^2}$

$x>0$のとき、$h'(x) > 0$。

したがって、$h(x)$は$x>0$で単調増加である。

よって、$x > 0$ において $h(x) > 0$、つまり $x > \arctan x$。

次に、$x - \frac{x^3}{3} < \arctan x$ を示す。

$k(x) = \arctan x - x + \frac{x^3}{3}$ とおくと、$k(0) = 0$である。

$k'(x) = \frac{1}{1+x^2} - 1 + x^2 = \frac{1 - (1+x^2) + x^2(1+x^2)}{1+x^2} = \frac{x^4}{1+x^2}$

$x > 0$ のとき、$k'(x) > 0$。

したがって、$k(x)$は$x>0$で単調増加である。

よって、$x > 0$ において $k(x) > 0$、つまり $\arctan x > x - \frac{x^3}{3}$。

以上より、$x - \frac{x^3}{3} < \arctan x < x$ が示された。

3. 最終的な答え

(1) $x - \frac{x^3}{6} < \sin x < x$ ($x > 0$)

(2) $x - \frac{x^3}{3} < \arctan x < x$ ($x > 0$)