与えられた極限を計算する問題です。 $$\lim_{x \to 0} \frac{2x + \sin{4x}}{x - \cos{x} + 1}$$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。

$$\lim_{x \to 0} \frac{2x + \sin{4x}}{x - \cos{x} + 1}$$

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、ロピタルの定理を使用します。まず、分子と分母がともに0に近づくことを確認します。

$x \to 0$のとき、

$2x + \sin{4x} \to 2(0) + \sin{0} = 0$

$x - \cos{x} + 1 \to 0 - \cos{0} + 1 = 0 - 1 + 1 = 0$

したがって、$\frac{0}{0}$の不定形であるため、ロピタルの定理を適用できます。分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分:

$\frac{d}{dx}(2x + \sin{4x}) = 2 + 4\cos{4x}$

分母の微分:

$\frac{d}{dx}(x - \cos{x} + 1) = 1 + \sin{x}$

したがって、新しい極限は次のようになります。

$$\lim_{x \to 0} \frac{2 + 4\cos{4x}}{1 + \sin{x}}$$

$x \to 0$を代入すると、

$\frac{2 + 4\cos{0}}{1 + \sin{0}} = \frac{2 + 4(1)}{1 + 0} = \frac{6}{1} = 6$

3. 最終的な答え

$$\lim_{x \to 0} \frac{2x + \sin{4x}}{x - \cos{x} + 1} = 6$$