与えられた3つの関数について、それぞれの導関数を求める問題です。 (1) $f(x) = \frac{x}{\log x}$ (2) $f(x) = \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)$ (3) $f(x) = \log(1 + \tanh x)$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、それぞれの導関数を求める問題です。

(1) $f(x) = \frac{x}{\log x}$

(2) $f(x) = \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)$

(3) $f(x) = \log(1 + \tanh x)$

2. 解き方の手順

(1) 商の微分公式を使います。

商の微分公式は $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ です。

$u = x$ なので $u' = 1$

$v = \log x$ なので $v' = \frac{1}{x}$

よって、

$(\frac{x}{\log x})' = \frac{1 \cdot \log x - x \cdot \frac{1}{x}}{(\log x)^2} = \frac{\log x - 1}{(\log x)^2}$

(2) 合成関数の微分を使います。

$\frac{d}{dx} \arctan(u) = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx}$ です。

$u = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ とすると、

$\frac{du}{dx} = \frac{1 \cdot \sqrt{1+x^2} - x \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x}{(\sqrt{1+x^2})^2} = \frac{\sqrt{1+x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} = \frac{1+x^2 - x^2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}$

$\frac{d}{dx} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right) = \frac{1}{1+(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})^2} \cdot \frac{1}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{1 + \frac{x^2}{1+x^2}} \cdot \frac{1}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{\frac{1+x^2+x^2}{1+x^2}} \cdot \frac{1}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}} = \frac{1+x^2}{1+2x^2} \cdot \frac{1}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{(1+2x^2)\sqrt{1+x^2}}$

ここで、$\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)$を簡略化することができます。

$x = \sinh t$とすると $\sqrt{1+x^2} = \cosh t$ となります。

$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{\sinh t}{\cosh t} = \tanh t$

$\arctan(\tanh t)$を微分すると、$\frac{d}{dx} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)$ の導関数がわかります。

しかし、$\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)$ が簡単にできませんでした。

代わりに、

$y = \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)$

$\tan y = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

$\tan^2 y = \frac{x^2}{1+x^2}$

$1 + \tan^2 y = \frac{1+x^2+x^2}{1+x^2} = \frac{1+2x^2}{1+x^2}$

$\cos^2 y = \frac{1}{1+\tan^2 y} = \frac{1+x^2}{1+2x^2}$

$\cos y = \sqrt{\frac{1+x^2}{1+2x^2}}$

$\sin y = \tan y \cos y = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \sqrt{\frac{1+x^2}{1+2x^2}} = \frac{x}{\sqrt{1+2x^2}}$

$y = \arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{1+2x^2}}\right)$

$y' = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{1+2x^2}}} \cdot \frac{\sqrt{1+2x^2} - x \cdot \frac{2x}{\sqrt{1+2x^2}}}{1+2x^2} = \frac{\sqrt{1+2x^2}}{\sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{1+2x^2 - 2x^2}{(1+2x^2)^{3/2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}(1+2x^2)}$

(3) 合成関数の微分を使います。

$\frac{d}{dx} \log(u) = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}$ です。

$u = 1 + \tanh x$ とすると、

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{\cosh^2 x}$

$\frac{d}{dx} \log(1 + \tanh x) = \frac{1}{1 + \tanh x} \cdot \frac{1}{\cosh^2 x} = \frac{1}{1 + \frac{\sinh x}{\cosh x}} \cdot \frac{1}{\cosh^2 x} = \frac{1}{\frac{\cosh x + \sinh x}{\cosh x}} \cdot \frac{1}{\cosh^2 x} = \frac{\cosh x}{\cosh x + \sinh x} \cdot \frac{1}{\cosh^2 x} = \frac{1}{\cosh x(\cosh x + \sinh x)}$

ここで、$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ と $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ を使うと、

$\cosh x + \sinh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} + \frac{e^x - e^{-x}}{2} = e^x$

よって、$\frac{1}{\cosh x (\cosh x + \sinh x)} = \frac{1}{\cosh x \cdot e^x} = \frac{1}{(\frac{e^x + e^{-x}}{2})e^x} = \frac{2}{e^{2x} + 1}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\log x - 1}{(\log x)^2}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}(1+2x^2)}$

(3) $\frac{2}{e^{2x} + 1}$