以下の3つの関数をそれぞれ $x$ で微分する問題です。 * $5\sin(7x) + 2\cos(2x)$ * $3e^{5x}$ * $\sqrt{x^2 - 3}$

解析学微分三角関数指数関数合成関数の微分
2025/7/18

1. 問題の内容

以下の3つの関数をそれぞれ xx で微分する問題です。
* 5sin(7x)+2cos(2x)5\sin(7x) + 2\cos(2x)
* 3e5x3e^{5x}
* x23\sqrt{x^2 - 3}

2. 解き方の手順

* (1) 5sin(7x)+2cos(2x)5\sin(7x) + 2\cos(2x) の微分
sin(ax)\sin(ax) の微分は acos(ax)a\cos(ax) であり、cos(ax)\cos(ax) の微分は asin(ax)-a\sin(ax) であることを利用します。
ddx(5sin(7x)+2cos(2x))=5ddxsin(7x)+2ddxcos(2x)\frac{d}{dx} (5\sin(7x) + 2\cos(2x)) = 5 \cdot \frac{d}{dx} \sin(7x) + 2 \cdot \frac{d}{dx} \cos(2x)
=5(7cos(7x))+2(2sin(2x))= 5 \cdot (7\cos(7x)) + 2 \cdot (-2\sin(2x))
=35cos(7x)4sin(2x)= 35\cos(7x) - 4\sin(2x)
* (2) 3e5x3e^{5x} の微分
eaxe^{ax} の微分は aeaxae^{ax} であることを利用します。
ddx(3e5x)=3ddxe5x=3(5e5x)=15e5x\frac{d}{dx} (3e^{5x}) = 3 \cdot \frac{d}{dx} e^{5x} = 3 \cdot (5e^{5x}) = 15e^{5x}
* (3) x23\sqrt{x^2 - 3} の微分
u\sqrt{u} の微分は 12ududx\frac{1}{2\sqrt{u}} \frac{du}{dx} であることを利用します。
ここで、u=x23u = x^2 - 3 とおきます。
ddxx23=12x23ddx(x23)\frac{d}{dx} \sqrt{x^2 - 3} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 3}} \cdot \frac{d}{dx} (x^2 - 3)
=12x23(2x)= \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 3}} \cdot (2x)
=xx23= \frac{x}{\sqrt{x^2 - 3}}

3. 最終的な答え

* 5sin(7x)+2cos(2x)5\sin(7x) + 2\cos(2x) の微分: 35cos(7x)4sin(2x)35\cos(7x) - 4\sin(2x)
* 3e5x3e^{5x} の微分: 15e5x15e^{5x}
* x23\sqrt{x^2 - 3} の微分: xx23\frac{x}{\sqrt{x^2 - 3}}

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はい、承知いたしました。画像にある4つの問題の解き方を説明します。

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