(1) 関数 $f(x, y) = \log_y x$ について、点 $(x, y) = (3, e^2)$ における偏微分 $\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial f}{\partial y}$ の値を求めます。 (2) 関数 $f(x, y) = x^y$ について、点 $(x, y) = (1, e)$ における偏微分 $\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x, y) = \log_y x$ について、点 $(x, y) = (3, e^2)$ における偏微分 $\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial f}{\partial y}$ の値を求めます。

(2) 関数 $f(x, y) = x^y$ について、点 $(x, y) = (1, e)$ における偏微分 $\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x, y) = \log_y x$ を偏微分します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (\log_y x) = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\ln x}{\ln y}) = \frac{1}{\ln y} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln y}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\log_y x) = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\ln x}{\ln y}) = \ln x \cdot \frac{\partial}{\partial y} (\frac{1}{\ln y}) = \ln x \cdot (-\frac{1}{(\ln y)^2} \cdot \frac{1}{y}) = -\frac{\ln x}{y (\ln y)^2}$

次に、点 $(3, e^2)$ での値を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x}(3, e^2) = \frac{1}{3 \ln (e^2)} = \frac{1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6}$

$\frac{\partial f}{\partial y}(3, e^2) = -\frac{\ln 3}{e^2 (\ln (e^2))^2} = -\frac{\ln 3}{e^2 \cdot 2^2} = -\frac{\ln 3}{4e^2}$

(2)

まず、$f(x, y) = x^y$ を偏微分します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^y) = y x^{y-1}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (y x^{y-1}) = y(y-1)x^{y-2}$

次に、点 $(1, e)$ での値を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x}(1, e) = e \cdot 1^{e-1} = e \cdot 1 = e$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1, e) = e (e-1) 1^{e-2} = e(e-1)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\partial f}{\partial x}(3, e^2) = \frac{1}{6}$ , $\frac{\partial f}{\partial y}(3, e^2) = -\frac{\ln 3}{4e^2}$

(2) $\frac{\partial f}{\partial x}(1, e) = e$ , $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1, e) = e(e-1)$