与えられた3つの関数について、それぞれの導関数を求める問題です。 (1) $f(x) = \frac{x}{\log x}$ (2) $f(x) = \tan^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right)$ (3) $f(x) = \log (1 + \tanh x)$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、それぞれの導関数を求める問題です。

(1) $f(x) = \frac{x}{\log x}$

(2) $f(x) = \tan^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right)$

(3) $f(x) = \log (1 + \tanh x)$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \frac{x}{\log x}$ の導関数を求める。

商の微分公式 $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を利用する。

$u = x$ と $v = \log x$ とおくと、$u' = 1$、$v' = \frac{1}{x}$ となる。

よって、

$f'(x) = \frac{1 \cdot \log x - x \cdot \frac{1}{x}}{(\log x)^2} = \frac{\log x - 1}{(\log x)^2}$

(2) $f(x) = \tan^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right)$ の導関数を求める。

合成関数の微分公式 $\frac{d}{dx} \tan^{-1} (u) = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx}$ を利用する。

$u = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ とおくと、

$\frac{du}{dx} = \frac{1 \cdot \sqrt{1+x^2} - x \cdot \frac{1}{2}(1+x^2)^{-1/2} \cdot 2x}{1+x^2} = \frac{\sqrt{1+x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} = \frac{1+x^2 - x^2}{(1+x^2)^{3/2}} = \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}}$

したがって、

$f'(x) = \frac{1}{1 + \frac{x^2}{1+x^2}} \cdot \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} = \frac{1+x^2}{1+x^2+x^2} \cdot \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} = \frac{1+x^2}{1+2x^2} \cdot \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} = \frac{1}{(1+2x^2)\sqrt{1+x^2}}$

(3) $f(x) = \log (1 + \tanh x)$ の導関数を求める。

合成関数の微分公式 $\frac{d}{dx} \log (u) = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}$ を利用する。

$u = 1 + \tanh x$ とおくと、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{\cosh^2 x}$ となる。

したがって、

$f'(x) = \frac{1}{1 + \tanh x} \cdot \frac{1}{\cosh^2 x} = \frac{1}{1 + \frac{\sinh x}{\cosh x}} \cdot \frac{1}{\cosh^2 x} = \frac{\cosh x}{\cosh x + \sinh x} \cdot \frac{1}{\cosh^2 x} = \frac{1}{\cosh x (\cosh x + \sinh x)} = \frac{1}{\cosh x (\cosh x + \sinh x)} = \frac{1}{\cosh x} \cdot \frac{1}{\cosh x + \sinh x} = \frac{1}{\cosh x} \cdot \frac{1}{e^x} = \frac{e^{-x}}{\frac{e^x + e^{-x}}{2}} = \frac{2e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{2}{e^{2x} + 1}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\log x - 1}{(\log x)^2}$

(2) $\frac{1}{(1+2x^2)\sqrt{1+x^2}}$

(3) $\frac{2}{e^{2x} + 1}$