次の関数のマクローリン展開を求めよ。 (1) $f(x) = \frac{1}{x^2 - 3x + 2}$ (2) $f(x) = \frac{x}{(x+2)^2}$ (3) $f(x) = \log \frac{1-x}{1+x}$ (4) $f(x) = \log(1-x-12x^2)$

わかりました。画像の数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の関数のマクローリン展開を求めよ。

(1) $f(x) = \frac{1}{x^2 - 3x + 2}$

(2) $f(x) = \frac{x}{(x+2)^2}$

(3) $f(x) = \log \frac{1-x}{1+x}$

(4) $f(x) = \log(1-x-12x^2)$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \frac{1}{x^2 - 3x + 2}$

まず、$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$と因数分解できるので、部分分数分解を行う。

$\frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$

$1 = A(x-2) + B(x-1)$

$x = 1$のとき、$1 = A(1-2) \Rightarrow A = -1$

$x = 2$のとき、$1 = B(2-1) \Rightarrow B = 1$

したがって、

$f(x) = \frac{-1}{x-1} + \frac{1}{x-2} = \frac{1}{1-x} - \frac{1}{2-x} = \frac{1}{1-x} - \frac{1}{2(1-\frac{x}{2})}$

$\frac{1}{1-x}$のマクローリン展開は$\sum_{n=0}^{\infty} x^n$であり、$\frac{1}{1-\frac{x}{2}}$のマクローリン展開は$\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{x}{2})^n$である。

したがって、

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^n - \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{x}{2})^n = \sum_{n=0}^{\infty} x^n - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n+1}} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} (1-\frac{1}{2^{n+1}})x^n$

(2) $f(x) = \frac{x}{(x+2)^2}$

$f(x) = \frac{x}{(x+2)^2} = \frac{x+2-2}{(x+2)^2} = \frac{1}{x+2} - \frac{2}{(x+2)^2}$

$\frac{1}{x+2} = \frac{1}{2(1+\frac{x}{2})} = \frac{1}{2} (1+\frac{x}{2})^{-1} = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (\frac{x}{2})^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{n+1}} x^n$

$\frac{1}{(x+2)^2} = - \frac{d}{dx} (\frac{1}{x+2}) = - \frac{d}{dx} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{n+1}} x^n = - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n}{2^{n+1}} x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (n+1)}{2^{n+2}} x^n$

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{n+1}} x^n - 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (n+1)}{2^{n+2}} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} [\frac{(-1)^n}{2^{n+1}} - \frac{(-1)^n (n+1)}{2^{n+1}}] x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{n+1}} (1-n-1) x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} n}{2^{n+1}} x^n$

(3) $f(x) = \log \frac{1-x}{1+x} = \log (1-x) - \log (1+x)$

$\log(1-x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$

$\log(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}$

$f(x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1+(-1)^{n-1})}{n} x^n$

$n$が偶数のとき、$1+(-1)^{n-1} = 0$。$n$が奇数のとき、$1+(-1)^{n-1} = 2$

したがって、$f(x) = -\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2}{2k+1} x^{2k+1} = -2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{2k+1}$

(4) $f(x) = \log(1-x-12x^2) = \log(1+ (-x-12x^2))$

$\log(1+u) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{u^n}{n}$

$u=-x-12x^2$

$f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} (-x-12x^2)^n = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} (-1)^n}{n} (x+12x^2)^n = \sum_{n=1}^\infty \frac{-1}{n} (x+12x^2)^n$

$f(x) = -(x+12x^2) - \frac{1}{2} (x+12x^2)^2 - \frac{1}{3} (x+12x^2)^3 - \dots$

$f(x) = -(x+12x^2) - \frac{1}{2} (x^2 + 24x^3 + 144x^4) - \frac{1}{3}(x^3+\dots) + \dots$

$f(x) = -x - 12x^2 - \frac{1}{2}x^2 - 12x^3 - 72x^4 - \frac{1}{3}x^3 + \dots$

$f(x) = -x - (\frac{24}{2} + \frac{1}{2})x^2 - (12 + \frac{1}{3})x^3 + \dots = -x - \frac{25}{2}x^2 - \frac{37}{3} x^3 + \dots$

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{n=0}^{\infty} (1-\frac{1}{2^{n+1}})x^n$

(2) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} n}{2^{n+1}} x^n$

(3) $-2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{2k+1}$

(4) $-x - \frac{25}{2}x^2 - \frac{37}{3} x^3 + \dots$