次の極限を計算します。 $\lim_{x \to \infty} 2x \sin{\frac{1}{x}} \cos{\frac{1}{x}}$

1. 問題の内容

次の極限を計算します。

$\lim_{x \to \infty} 2x \sin{\frac{1}{x}} \cos{\frac{1}{x}}$

2. 解き方の手順

まず、$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ となります。よって、

$\lim_{x \to \infty} 2x \sin{\frac{1}{x}} \cos{\frac{1}{x}} = \lim_{t \to 0} \frac{2}{t} \sin{t} \cos{t}$

三角関数の倍角の公式 $\sin{2t} = 2 \sin{t} \cos{t}$ を使うと、

$\lim_{t \to 0} \frac{2}{t} \sin{t} \cos{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin{2t}}{t}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1$ であることを利用するために、$2t$ が現れるように変形します。

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin{2t}}{t} = \lim_{t \to 0} 2 \cdot \frac{\sin{2t}}{2t} = 2 \lim_{t \to 0} \frac{\sin{2t}}{2t}$

$u = 2t$ とおくと、$t \to 0$ のとき $u \to 0$ であるから、

$2 \lim_{t \to 0} \frac{\sin{2t}}{2t} = 2 \lim_{u \to 0} \frac{\sin{u}}{u} = 2 \cdot 1 = 2$

3. 最終的な答え

2