次の計算をしなさい。 $(\sqrt{5}+\sqrt{3})(5\sqrt{3}-3\sqrt{5})+(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2$

代数学根号式の計算展開
2025/7/10

1. 問題の内容

次の計算をしなさい。
(5+3)(5335)+(35)2(\sqrt{5}+\sqrt{3})(5\sqrt{3}-3\sqrt{5})+(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2

2. 解き方の手順

まず、(5+3)(5335)(\sqrt{5}+\sqrt{3})(5\sqrt{3}-3\sqrt{5})を展開します。
(5+3)(5335)=553535+353335(\sqrt{5}+\sqrt{3})(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}) = \sqrt{5} \cdot 5\sqrt{3} - \sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5} + \sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3\sqrt{5}
=51535+53315=51515+15315=215= 5\sqrt{15} - 3 \cdot 5 + 5 \cdot 3 - 3\sqrt{15} = 5\sqrt{15} - 15 + 15 - 3\sqrt{15} = 2\sqrt{15}
次に、(35)2(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2を展開します。
(35)2=(3)2235+(5)2=3215+5=8215(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 3 - 2\sqrt{15} + 5 = 8 - 2\sqrt{15}
したがって、
(5+3)(5335)+(35)2=215+8215=8(\sqrt{5}+\sqrt{3})(5\sqrt{3}-3\sqrt{5})+(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2 = 2\sqrt{15} + 8 - 2\sqrt{15} = 8

3. 最終的な答え

8

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